Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva: cos(x) dy/dx + y x = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . A tarefa é verificar se essa equação é linear e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução passo a passo.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma padrão:
Vamos tentar encaixar nossa equação nessa forma. A equação dada é:
Para deixar no formato padrão, dividimos todos os termos por :
Agora, vemos que ela está na forma , onde:
Então, sim, a equação é linear.

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o método do fator integrante. Esse método envolve encontrar uma função, chamada fator integrante, que simplifica a equação para que possamos integrá-la facilmente.
O fator integrante mu(x) é dado por:
Vamos calcular mu(x) usando nosso P(x).

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Essa integral pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la reconhecendo que:
No entanto, essa integral não é elementar e não tem uma expressão simples em termos de funções básicas. Isso indica que podemos precisar de uma abordagem diferente ou aceitar que a solução será em termos de uma integral definida.

Passo 5

Apesar da integral não ser elementar, podemos continuar o processo formalmente. Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante mu(x):
Isso nos dá:
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, temos:
Como mu(x) envolve uma integral não elementar, a solução final será expressa dessa forma, a menos que usemos métodos numéricos ou aproximações para resolver a integral.

Resposta

A equação diferencial é linear e sua solução geral é dada por:
Onde C é a constante de integração.

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