Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. A tarefa é verificar se essa equação é linear e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução passo a passo.
Passo 2
Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma padrão:
Vamos tentar encaixar nossa equação nessa forma. A equação dada é:
Para deixar no formato padrão, dividimos todos os termos por
:
Agora, vemos que ela está na forma
, onde:
Então, sim, a equação é linear.
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o método do fator integrante. Esse método envolve encontrar uma função, chamada fator integrante, que simplifica a equação para que possamos integrá-la facilmente.
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular
usando nosso
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Essa integral pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la reconhecendo que:
No entanto, essa integral não é elementar e não tem uma expressão simples em termos de funções básicas. Isso indica que podemos precisar de uma abordagem diferente ou aceitar que a solução será em termos de uma integral definida.
Passo 5
Apesar da integral não ser elementar, podemos continuar o processo formalmente. Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante
:
Isso nos dá:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, temos:
Como
envolve uma integral não elementar, a solução final será expressa dessa forma, a menos que usemos métodos numéricos ou aproximações para resolver a integral.
Resposta
A equação diferencial
é linear e sua solução geral é dada por:
Onde
é a constante de integração.