Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
[cs-2 t s+t 3 t]: s, t em R

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um subespaço de ℝ³ formado por todos os vetores da forma
s - 2t s + t 3t ,
onde s e t variam em ℝ. A matéria aqui é subespaço, base e dimensão. Para resolver a gente vai usar combinação linear (span) e verificar independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar esse vetor em “pedaços” que vêm de s e de t. Observe:
s - 2t s + t 3t = s, 110 ;+; t, -213
Isso mostra que todo vetor do subespaço é combinação linear de
u1=110 e
u2=-213.

Passo 3

Logo, o subespaço é
spanu1,u2 =la,u1 + b,u2 : a,bin Rr
Para formar uma base, a gente precisa que esses dois vetores gerem o subespaço (já geram) e sejam independentes.

Passo 4

Vamos checar independência de [u_1) e . Considere
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem . Só a solução trivial existe, logo e são independentes.

Resposta

Uma base do subespaço é
, 110,; -213 e dim = 2

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