Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um subespaço de ℝ³ formado por todos os vetores da forma
s - 2t s + t 3t ,
onde s e t variam em ℝ. A matéria aqui é subespaço, base e dimensão. Para resolver a gente vai usar combinação linear (span) e verificar independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar esse vetor em “pedaços” que vêm de s e de t. Observe:
s - 2t s + t 3t = s, 110 ;+; t, -213
Isso mostra que todo vetor do subespaço é combinação linear de u1=110 e u2=-213.
Passo 3
Logo, o subespaço é
spanu1,u2 =la,u1 + b,u2 : a,bin Rr
Para formar uma base, a gente precisa que esses dois vetores gerem o subespaço (já geram) e sejam independentes.
Passo 4
Vamos checar independência de [u_1) e . Considere
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem . Só a solução trivial existe, logo e são independentes.