Use o método dos retângulos para estimar a área sob a parábola
de 0 até 1. Considere pontos amostrais à direita e à esquerda dos subintervalos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método dos retângulos para estimar a área sob a curva da parábola $ y = x^{2} $ entre 0 e 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais e aproximações de áreas. Para resolver, vamos precisar dividir o intervalo [0, 1] em subintervalos, escolher pontos amostrais (à direita e à esquerda) e calcular a soma das áreas dos retângulos formados.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo [0, 1] em, digamos, 4 subintervalos iguais para facilitar os cálculos. Cada subintervalo terá largura $ \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0,25 $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de divisão: 0, 0,25, 0,5, 0,75 e 1.
Passo 4
Para o método dos retângulos com pontos à esquerda, usamos o valor da função no início de cada subintervalo. Então, os pontos amostrais são 0, 0,25, 0,5 e 0,75.
Passo 5
Calculamos a altura de cada retângulo usando $ y = x^{2} $:
- $ f(0) = 0^{2} = 0 $
- $ f(0,25) = (0,25)^{2} = 0,0625 $
- $ f(0,5) = (0,5)^{2} = 0,25 $
- $ f(0,75) = (0,75)^{2} = 0,5625 $
Passo 6
A área total usando pontos à esquerda é a soma das áreas de cada retângulo:
Passo 7
Agora, para pontos à direita, usamos o valor da função no final de cada subintervalo. Os pontos amostrais são 0,25, 0,5, 0,75 e 1.
Passo 8
Calculamos a altura de cada retângulo usando $ y = x^{2} $:
- $ f(0,25) = (0,25)^{2} = 0,0625 $
- $ f(0,5) = (0,5)^{2} = 0,25 $
- $ f(0,75) = (0,75)^{2} = 0,5625 $
- $ f(1) = 1^{2} = 1 $
Passo 9
A área total usando pontos à direita é:
Resposta
Usando o método dos retângulos, a estimativa da área sob a parábola $ y = x^{2} $ de 0 a 1 é aproximadamente 0,21875 com pontos à esquerda e 0,46875 com pontos à direita.