Use o método das seções transversais para determinar o volume do sólido S, onde S é o sólido limitado pelo plano z=0 e o gráfico da função:
g(x, y)=1x+y definida no retângulo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido chamado $ S $, que está limitado pelo plano $ z = 0 $ e pela superfície da função $ g(x, y) = \frac{1}{x + y} $. A região onde a função está definida é um retângulo no plano $ xy $, que vai de $ x = 0 $ a $ x = 2 $, e de $ y = \frac{1}{2} $ a $ y = 3 $. Para isso, vamos usar o método das seções transversais, que envolve calcular integrais duplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método das seções transversais. Esse método consiste em dividir o sólido em pequenas “fatias” ou “seções” e calcular o volume de cada fatia. Depois, somamos todas essas fatias para obter o volume total. Matematicamente, isso é feito usando integrais duplas.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. Nosso sólido está acima do plano $ z = 0 $ e abaixo da superfície $ z = \frac{1}{x + y} $. Isso significa que, para cada ponto $ (x, y) $ no retângulo dado, a altura do sólido é $ \frac{1}{x + y} $.

Passo 4

A próxima coisa a fazer é definir os limites de integração. Nosso retângulo está definido por $ x $ indo de 0 a 2 e $ y $ indo de $ \frac{1}{2} $ a 3. Então, os limites de integração para $ x $ são de 0 a 2 e para $ y $ são de $ \frac{1}{2} $ a 3.

Passo 5

Agora, escrevemos a integral dupla que representa o volume $ V $ do sólido:
V

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a $ y $:
y
Fazendo a substituição $ u = x + y $, então $ du = dy $. Quando $ y = \frac{1}{2} $, $ u = x + \frac{1}{2} $, e quando $ y = 3 $, $ u = x + 3 $.
A integral fica:
integral12^3 1x + y , dy

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^2 [ ln(x + 3) - ln(x + 12) ] , dx
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
V = integral0^2 ln( x + 3x + 12 ) , dx

Passo 8

Para resolver essa integral, precisamos integrar $ \ln\left( \frac{x + 3}{x + \frac{1}{2}} \right) $ em relação a $ x $. Vamos separar a integral em duas partes:
ln( x + 3x + 12 )
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 9

Primeiro, vamos resolver $ \int \ln(x + 3) , dx $. Usamos a integração por partes, onde:
  • $ u = \ln(x + 3) $ integral ln(x + 3) , dx $ du = \frac{1}{x + 3} , dx $
  • $ dv = dx $ u = ln(x + 3) $ v = x $
Então,
Rightarrow
Simplificando a segunda integral:
du = 1x + 3 , dx
Portanto,
dv = dx

Passo 10

Agora, resolvemos a segunda integral $ \int \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) , dx $ da mesma forma:
Usando integração por partes:
  • $ u = \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) $ integral ln(x + 12) , dx $ du = \frac{1}{x + \frac{1}{2}} , dx $
  • $ dv = dx $ u = ln(x + 12) $ v = x $
Então,
Rightarrow
Simplificando a segunda integral:
du = 1x + 12 , dx
Portanto,
dv = dx

Passo 11

Agora, voltamos à expressão original para o volume:
V = [ 3 ln(x + 3) ]0^2 - [ 12 ln(x + 12) ]0^2
Calculando as integrais nos limites:
Para $ 3 \ln(x + 3) $:
3 ln(x + 3)
Para $ \frac{1}{2} \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) $:
3 ln(2 + 3) - 3 ln(0 + 3) = 3 ln(5) - 3 ln(3)

Passo 12

Simplificando:
V = 3 ln(53) - 12 ln(52) + 12 ln(2)
Podemos combinar os logaritmos:
V = 3 ln(53) - 12 ln(52) + 12 ln(2) = 3 ln(53) - 12 ln(52) + 12 ln(2)

Resposta

O volume do sólido $ S $ é dado por:
S

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