Use o método das seções transversais para determinar o volume do sólido
, onde
é o sólido limitado pelo plano
e o gráfico da função:
definida no retângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido chamado $ S $, que está limitado pelo plano $ z = 0 $ e pela superfície da função $ g(x, y) = \frac{1}{x + y} $. A região onde a função está definida é um retângulo no plano $ xy $, que vai de $ x = 0 $ a $ x = 2 $, e de $ y = \frac{1}{2} $ a $ y = 3 $. Para isso, vamos usar o método das seções transversais, que envolve calcular integrais duplas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método das seções transversais. Esse método consiste em dividir o sólido em pequenas “fatias” ou “seções” e calcular o volume de cada fatia. Depois, somamos todas essas fatias para obter o volume total. Matematicamente, isso é feito usando integrais duplas.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. Nosso sólido está acima do plano $ z = 0 $ e abaixo da superfície $ z = \frac{1}{x + y} $. Isso significa que, para cada ponto $ (x, y) $ no retângulo dado, a altura do sólido é $ \frac{1}{x + y} $.
Passo 4
A próxima coisa a fazer é definir os limites de integração. Nosso retângulo está definido por $ x $ indo de 0 a 2 e $ y $ indo de $ \frac{1}{2} $ a 3. Então, os limites de integração para $ x $ são de 0 a 2 e para $ y $ são de $ \frac{1}{2} $ a 3.
Passo 5
Agora, escrevemos a integral dupla que representa o volume $ V $ do sólido:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a $ y $:
Fazendo a substituição $ u = x + y $, então $ du = dy $. Quando $ y = \frac{1}{2} $, $ u = x + \frac{1}{2} $, e quando $ y = 3 $, $ u = x + 3 $.
A integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 8
Para resolver essa integral, precisamos integrar $ \ln\left( \frac{x + 3}{x + \frac{1}{2}} \right) $ em relação a $ x $. Vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 9
Primeiro, vamos resolver $ \int \ln(x + 3) , dx $. Usamos a integração por partes, onde:
- $ u = \ln(x + 3) $
$ du = \frac{1}{x + 3} , dx $integral ln(x + 3) , dx - $ dv = dx $
$ v = x $u = ln(x + 3)
Então,
Simplificando a segunda integral:
Portanto,
Passo 10
Agora, resolvemos a segunda integral $ \int \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) , dx $ da mesma forma:
Usando integração por partes:
- $ u = \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) $
$ du = \frac{1}{x + \frac{1}{2}} , dx $integral ln(x + 12) , dx - $ dv = dx $
$ v = x $u = ln(x + 12)
Então,
Simplificando a segunda integral:
Portanto,
Passo 11
Agora, voltamos à expressão original para o volume:
Calculando as integrais nos limites:
Para $ 3 \ln(x + 3) $:
Para $ \frac{1}{2} \ln\left(x + \frac{1}{2}\right) $:
Passo 12
Simplificando:
Podemos combinar os logaritmos:
Resposta
O volume do sólido $ S $ é dado por: