Mostre que
é conservativo e use esse fato para calcular
ao longo da curva dada.
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e, usando isso, calcular a integral de linha
ao longo da curva
, de
a
. O tema é campo conservativo e o que vamos precisar é: checar igualdade de derivadas mistas, achar uma função potencial
e usar o teorema fundamental de cálculo de linha.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, escrevemos
e
e calculamos as derivadas mistas:
Como são iguais em
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Em seguida exigimos que
logo
e
. Assim
é a potencial.
Passo 4
Como
é conservativo, vale o teorema fundamental de cálculo de linha:
Aqui
logo a integral é
Resposta
0