Mostre que F é conservativo e use esse fato para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada.
F(x, y)=(4 x^3 y^2-2 x y^3) i+(2 x^4 y-3 x^2 y^2+4 y^3) j, C: r(t)=(t+sen pi t) i+(2 t+cos pi t) j, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial F(x,y)=(4x^3y^2-2xy^3,;2x^4y-3x^2y^2+4y^3) é conservativo e, usando isso, calcular a integral de linha integralC Fcdot d r ao longo da curva r(t)=(t+sin(pi t),;2t+cos(pi t)), de t=0 a t=1. O tema é campo conservativo e o que vamos precisar é: checar igualdade de derivadas mistas, achar uma função potencial f(x,y) e usar o teorema fundamental de cálculo de linha.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, escrevemos P(x,y)=4x^3y^2-2xy^3 e Q(x,y)=2x^4y-3x^2y^2+4y^3 e calculamos as derivadas mistas:
partial Ppartial y=8x^3y-6xy^2,partial Qpartial x=8x^3y-6xy^2
Como são iguais em R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(4x^3y^2-2xy^3),dx=x^4y^2-x^2y^3+h(y)
Em seguida exigimos que partial f/partial y=Q:
partial fpartial y=2x^4y-3x^2y^2+h'(y)=2x^4y-3x^2y^2+4y^3,
logo h'(y)=4y^3 e h(y)=y^4. Assim
f(x,y)=x^4y^2-x^2y^3+y^4
é a potencial.

Passo 4

Como F é conservativo, vale o teorema fundamental de cálculo de linha:
integralC Fcdot d r=fl( r(1)r)-fl( r(0)r)
Aqui r(0)=(0,1) e r(1)=(1,1). Calculando
f(1,1)=1^4cdot1^2-1^2cdot1^3+1^4=1-1+1=1,
f(0,1)=0^4cdot1^2-0^2cdot1^3+1^4=1,
logo a integral é 1-1=0.

Resposta

0

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