Determine rot F e div F se
F(x, y, z)=e^-x sen y i+e^-y sen z j+e^-z sen x k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotor e a divergência do campo vetorial F(x,y,z)=e^-xsin y,i+e^-ysin z,j+e^-zsin x,k. Isso faz parte de cálculo vetorial e vamos usar as definições de rot e div.

Passo 2

Por definição temos rotF=nablatimesF e divF=nablacdotF. Para o rotor, a expressão em determinante é
nablatimesF= i&j&k partialpartial x&partialpartial y&partialpartial z F1&F2&F3
Para a divergência usamos divF=partialxF1+partialyF2+partialzF3.

Passo 3

Vamos calcular o rotor. Como F1=e^-xsin y, F2=e^-ysin z e F3=e^-zsin x, temos
partial F3partial y=0,partial F2partial z=e^-ycos z,
partial F1partial z=0,partial F3partial x=e^-zcos x,
partial F2partial x=0,partial F1partial y=e^-xcos y
Substituindo na fórmula do determinante obtemos
rotF=(0-e^-ycos z,;0-e^-zcos x,;0-e^-xcos y) =-l(e^-ycos z,;e^-zcos x,;e^-xcos yr)

Passo 4

Agora a divergência. Calculamos
partial F1partial x=-e^-xsin y,partial F2partial y=-e^-ysin z,partial F3partial z=-e^-zsin x,
e somamos:
divF=-e^-xsin y-e^-ysin z-e^-zsin x=-(e^-xsin y+e^-ysin z+e^-zsin x)

Resposta

rotF=-l(e^-ycos z,i+e^-zcos x,j+e^-xcos y,kr) e divF=-(e^-xsin y+e^-ysin z+e^-zsin x).

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