Calcule
, onde
e
é a fronteira do triângulo de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e
é o contorno de um triângulo com vértices em
,
e
, andando no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral
representa. Ela calcula o “trabalho” que o campo vetorial
faz ao redor do caminho
. Como
é fechado e usamos o sentido anti-horário, o Teorema de Green é perfeito para simplificar nossos cálculos.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
.
Passo 5
Substituindo de volta no Teorema de Green:
Isso significa que o trabalho total ao redor do triângulo é zero.
Resposta
A integral de linha
vale
.