Calcule ointC F d r, onde F(x, y)=x+y e C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y) = (x, y) e C é o contorno de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), andando no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral ointC F cdot dr representa. Ela calcula o “trabalho” que o campo vetorial F faz ao redor do caminho C. Como C é fechado e usamos o sentido anti-horário, o Teorema de Green é perfeito para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde F = (P, Q). No nosso caso, P = x e Q = y.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial ypartial x = 0
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Então, partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Substituindo de volta no Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD 0 , dx,dy = 0
Isso significa que o trabalho total ao redor do triângulo é zero.

Resposta

A integral de linha ointC F cdot dr vale 0.

Exercícios relacionados