Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
c) a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0, \quad a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
a\,y^{2} + b \;-\; x^{2}\,y\,y' = 0,
onde a\neq0, usando o método de separação de variáveis.
O conteúdo aqui é reconhecer que é uma EDO separável: devemos isolar y', colocar termos em y de um lado e em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo com y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
a\,y^{2} + b \;-\; x^{2}\,y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,y\,\frac{dy}{dx} = a\,y^{2} + b.
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y\,\frac{dy}{dx} = \frac{a\,y^{2} + b}{x^{2}}.

Passo 3

Separe as variáveis, isto é, ponha tudo em y com dy e em x com dx:
\frac{y}{a\,y^{2} + b}\,dy = \frac{dx}{x^{2}}.

Passo 4

Integre ambos os lados:
\int \frac{y}{a\,y^{2} + b}\,dy = \int x^{-2}\,dx.
No lado esquerdo, use a substituição u = a\,y^{2} + b, de modo que du = 2a\,y\,dy e y\,dy = \tfrac{du}{2a}. Assim,
\int \frac{y}{a\,y^{2} + b}\,dy = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,y^{2} + b\bigr|.
No lado direito,
\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Igualando as primitivas:
\frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,y^{2} + b\bigr| = -\frac{1}{x} + C.
Multiplique por 2a:
\ln\bigl|a\,y^{2} + b\bigr| = -\frac{2a}{x} + C_{1},
com C_{1}=2a\,C. Exponenciando,
\bigl|a\,y^{2} + b\bigr| = \tilde{C}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2a}{x}\bigr),
onde \tilde{C}=e^{C_{1}} é nova constante.
Por fim, desprezando valor absoluto e isolando y,
a\,y^{2} + b = C\,e^{-2a/x} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{C\,e^{-2a/x} - b}{a} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \sqrt{\frac{C\,e^{-2a/x} - b}{a}}.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
\ln\bigl|a\,y^{2} + b\bigr| = -\frac{2a}{x} + C_{1},
ou explicitamente
y(x) = \pm \sqrt{\frac{C\,e^{-2a/x} - b}{a}},
com C constante arbitrária.

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