Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
d) \left(a y^{2}+b\right)^{1 / 2}-x y y^{\prime}=0, \quad a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
\sqrt{a\,y^{2} + b}\;-\;x\,y\,y' \;=\;0,\qquad a\neq 0
usando o método de separação de variáveis. Vamos isolar y' e separar as variáveis y e x.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
\sqrt{a\,y^{2} + b} \;=\; x\,y\,\frac{dy}{dx},
portanto
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{\sqrt{a\,y^{2} + b}}{x\,y}.

Passo 3

Separamos as variáveis, passando todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o lado direito:
\frac{y}{\sqrt{a\,y^{2} + b}}\;dy \;=\;\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos a substituição u = a\,y^{2} + b, o que implica du = 2a\,y\,dy. Então
\int \frac{y}{\sqrt{a\,y^{2} + b}}\,dy = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{a}\sqrt{u} = \frac{1}{a}\sqrt{a\,y^{2} + b}.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Igualando as duas integrais obtidas,
\frac{1}{a}\sqrt{a\,y^{2} + b} = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando por a e renomeando a constante, obtemos
\sqrt{a\,y^{2} + b} = a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1},
onde C_{1} é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
\boxed{\sqrt{a\,y^{2} + b} = a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1},}
ou, de forma equivalente,
\boxed{a\,y^{2} + b = \bigl(a\,\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr)^{2},}
com C_{1} constante de integração.

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