Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
k) y^{\prime}=y \ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = y \ln x
e pede a solução geral usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a equação como
\frac{dy}{dx} = y \ln x
e separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy = \ln x \,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \ln x \,dx.
No lado esquerdo obtemos \ln|y|. No direito, por integração por partes com u=\ln x e dv=dx, temos
\int \ln x \,dx = x\ln x - x + C.
Logo
\ln|y| = x\ln x - x + C.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados,
|y| = e^{\,x\ln x - x + C} = e^{C}\,e^{x\ln x}\,e^{-x}.
Definindo K = \pm e^{C} (constante real arbitrária), obtemos
y = K\,e^{x\ln x - x} = K\,x^{x}\,e^{-x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,x^{x}\,e^{-x},
onde C é uma constante real arbitrária.

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