Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
l) 3 x^{2} y^{\prime}=2 y(y-3)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
3x^{2}y' = 2y(y-3)
e pede a solução geral pelo método de separação de variáveis. Vamos reescrever em forma de y' e separar y de x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 3x^{2} e escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3x^{2}}\;y(y-3)
e então
\frac{dy}{y(y-3)} = \frac{2}{3x^{2}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{1}{y(y-3)} = -\frac{1}{3}\,\frac{1}{y} \;+\;\frac{1}{3}\,\frac{1}{y-3}.
Logo
\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{y} + \tfrac{1}{3}\,\frac{1}{y-3}\Bigr)\,dy = -\tfrac{1}{3}\ln|y| + \tfrac{1}{3}\ln|y-3|.
No lado direito,
\int \frac{2}{3x^{2}}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{-2}dx = -\frac{2}{3x}.

Passo 4

Igualando as integrais e somando uma constante C, temos
-\tfrac{1}{3}\ln|y| + \tfrac{1}{3}\ln|y-3| = -\frac{2}{3x} + C.
Multiplicando tudo por 3 e combinando logs, fica
\ln\Bigl|\frac{y-3}{y}\Bigr| = -\frac{2}{x} + C_{1}.
Exponentiando,
\frac{y-3}{y} = K\,e^{-2/x},
onde K=e^{C_{1}}. Daí
y - 3 = K\,y\,e^{-2/x} \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1 - K\,e^{-2/x}\bigr)=3 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3}{1 - K\,e^{-2/x}}.
Renomeando a constante C=-K, obtemos
y = \frac{3}{1 + C\,e^{-2/x}}.

Resposta

\displaystyle y(x) = \frac{3}{1 + C\,e^{-2/x}}, onde C é constante arbitrária.

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