Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
o) y^{\prime}=1+x+y^{2}+x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' = 1 + x + y^2 + x\,y^2
e pede a solução geral via separação de variáveis. Vamos reconhecer que podemos fatorar termos em 1+x e 1+y^2 para separar x e y, depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Note que
1 + x + y^2 + x\,y^2 = (1+x)\,(1+y^2),
logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = (1+x)\,(1+y^2).

Passo 3

Separe as variáveis colocando y de um lado e x do outro:
\frac{dy}{1+y^2} = (1+x)\,dx.

Passo 4

Integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^2} = \int (1+x)\,dx.
À esquerda vem \arctan y e à direita
\int (1+x)\,dx = x + \frac{x^2}{2} + C.
Portanto
\arctan y = x + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y = \tan\Bigl(x + \tfrac{x^2}{2} + C\Bigr).

Resposta

y(x) = \tan\Bigl(x + \tfrac{x^2}{2} + C\Bigr),
onde C é a constante de integração.

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