Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
p) y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x^{2}}{1+y^{2}}
usando o método de separação de variáveis. Vamos separar y e x em lados opostos e então integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando as variáveis, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{1+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad (1+y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int (1+y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
\int (1+y^{2})\,dy = y + \frac{y^{3}}{3}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C.

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