Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa determinar se a série
é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries envolvendo fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir se uma série converge ou diverge analisando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
- Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar $ a_n $ na nossa série:
Agora, vamos encontrar $ a_{n+1} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos:
Cancelando $ (n+3)! $ e $ n! $:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 6
Interpretando o resultado do limite:
Segundo o Teste da Razão, se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.