Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
(s) sumn=1^infty (n+3)!3!n!3^n

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa determinar se a série
sumn=1^infty (n+3)!3! , n! , 3^n
é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir se uma série converge ou diverge analisando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar $ a_n $ na nossa série:
an
Agora, vamos encontrar $ a_{n+1} $:
an = (n+3)!3! , n! , 3^n

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos:
Cancelando $ (n+3)! $ e $ n! $:
an+1an
Simplificando mais:
an+1an = (n+4)!3! , (n+1)! , 3^n+1 times 3! , n! , 3^n(n+3)!

Passo 5

Agora, vamos encontrar o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 6

Interpretando o resultado do limite:
L = 13 < 1
Segundo o Teste da Razão, se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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