Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{10 \ln x}{x y-x y^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{10\,\ln x}{x\,y - x\,y^{3}}
usando separação de variáveis. Aqui o conteúdo é reconhecer que a equação é do tipo separável, ou seja, podemos escrever algo da forma
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)\,g(y)
e depois integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador no lado direito:
x\,y - x\,y^{3} = x\,y\,(1 - y^{2}).
Assim
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{10\,\ln x}{x\,y\,(1 - y^{2})} \;\Longrightarrow\; y\,(1 - y^{2})\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{10\,\ln x}{x}.
Agora separamos as variáveis y e x:
y\,(1 - y^{2})\,\mathrm{d}y = \frac{10\,\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,(1 - y^{2})\,\mathrm{d}y \;=\; \int \frac{10\,\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos as duas integrais separadamente.
Para a parte em y:
\int y\,(1 - y^{2})\,\mathrm{d}y = \int \bigl(y - y^{3}\bigr)\,\mathrm{d}y = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{4}}{4}.
Para a parte em x, usamos u = \ln x, \mathrm{d}u = \mathrm{d}x/x:
\int \frac{10\,\ln x}{x}\,\mathrm{d}x = 10 \int u\,\mathrm{d}u = 10 \cdot \frac{u^{2}}{2} = 5\,(\ln x)^{2}.

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{4}}{4} = 5\,(\ln x)^{2} + C.
Multiplicando por 4 para simplificar, fica
2\,y^{2} - y^{4} = 20\,(\ln x)^{2} + C',
onde C' = 4C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita geral é
\boxed{\frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{4}}{4} = 5\,(\ln x)^{2} + C.}

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