Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação
Aqui vamos usar separação de variáveis e frações parciais para integrar.
Passo 2
Escrevendo
e separando as variáveis, obtemos
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais: procuramos
e
tais que
Isso dá
logo
e
, de onde
e
. Portanto
Passo 4
Integramos os dois lados:
Isso resulta em
Passo 5
Reescrevendo como logaritmo único,
onde
é constante arbitrária (absorvendo o sinal e
). Retirando o valor absoluto:
Passo 6
Resolvendo para
:
Redefinindo a constante por
, obtemos a forma usual
Passo 7
Além dessa família de soluções, as soluções constantes
e
são também soluções (equilíbrios) de
.
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.
As soluções constantes são e
.
As soluções constantes são