Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}=y^{2}-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação
\frac{d y}{d x} = y^{2} - y.
Aqui vamos usar separação de variáveis e frações parciais para integrar.

Passo 2

Escrevendo y^{2}-y = y(y-1) e separando as variáveis, obtemos
\frac{dy}{y(y-1)} = dx.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais: procuramos A e B tais que
\frac{1}{y(y-1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y-1}.
Isso dá
1 = A(y-1) + B\,y = (A+B)\,y - A,
logo A+B=0 e -A=1, de onde A=-1 e B=1. Portanto
\frac{1}{y(y-1)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-1}.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int\Bigl(-\frac{1}{y} + \frac{1}{y-1}\Bigr)\,dy = \int 1\,dx.
Isso resulta em
-\ln\lvert y\rvert + \ln\lvert y-1\rvert = x + C.

Passo 5

Reescrevendo como logaritmo único,
\ln\Bigl\lvert\frac{y-1}{y}\Bigr\rvert = x + C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl\lvert\frac{y-1}{y}\Bigr\rvert = e^{x+C} = K\,e^{x},
onde K é constante arbitrária (absorvendo o sinal e e^{C}). Retirando o valor absoluto:
\frac{y-1}{y} = K\,e^{x}.

Passo 6

Resolvendo para y:
y - 1 = K\,y\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1 - K\,e^{x}\bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{1 - K\,e^{x}}.
Redefinindo a constante por C = -K, obtemos a forma usual
y(x) = \frac{1}{1 + C\,e^{x}}.

Passo 7

Além dessa família de soluções, as soluções constantes y(x)=0 e y(x)=1 são também soluções (equilíbrios) de \tfrac{dy}{dx}=y^{2}-y.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{1 + C\,e^{x}},
onde C é constante arbitrária.
As soluções constantes são y(x)=0 e y(x)=1.

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