Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=e^{2 x+y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{2x + y},
que é uma equação separável. Para resolvê-la, vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = e^{2x}\,e^{y}
e separamos as variáveis: colocamos y no lado esquerdo e x no direito, obtendo
e^{-y}\,dy = e^{2x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda,
\int e^{-y}\,dy = -\,e^{-y}.
À direita,
\int e^{2x}\,dx = \tfrac12\,e^{2x}.
Portanto,
-\,e^{-y} = \tfrac12\,e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por -1 e renomeando a constante como C_1, temos
e^{-y} = -\tfrac12\,e^{2x} + C_1.
Isolando y, obtemos
-y = \ln\bigl(C_1 - \tfrac12\,e^{2x}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(C_1 - \tfrac12\,e^{2x}\bigr).

Resposta

y(x) = -\ln\!\bigl(C - \tfrac12\,e^{2x}\bigr), \quad C\in\mathbb{R}.

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