Classifique as equações abaixo determinando a ordem e se são lineares ou não-lineares. Caso seja não-linear, justifique sua resposta.
\left(1-y^{2}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
\left(1-y^{2}\right)\,dx + x\,dy = 0.
O que se pede:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.
    Se for não-linear, justificar por que é não-linear.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação numa forma explícita envolvendo a derivada \dfrac{dy}{dx}, porque isso facilita identificar a ordem e a linearidade. Dividindo toda a equação por dx (assumindo dx\neq0) obtemos
\left(1-y^{2}\right) + x\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
x\frac{dy}{dx} = -(1-y^{2})
\frac{dy}{dx} = -\frac{1-y^{2}}{x} = \frac{y^{2}-1}{x}.
Agora explico o que é ordem de uma equação diferencial: ordem é a maior derivada presente na equação. Aqui aparece apenas \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de primeira ordem. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

Vou explicar com calma o que significa uma equação diferencial ser linear (no contexto de ordens baixas, especialmente 1a ordem), porque é o ponto chave da classificação.
Definição prática para equações de primeira ordem: uma equação de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
a_{1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = b(x),
onde a_{1}(x), a_{0}(x) e b(x) são funções que dependem somente da variável independente x (não de y). Em outras palavras, a incógnita y e sua derivada aparecem apenas com expoentes 1 e não multiplicados entre si — não deve haver termos como y^{2}, y\cdot \frac{dy}{dx}, \sin(y), etc. Esses tipos de termos tornam a equação não-linear.

Passo 4

Apliquei a definição à nossa equação. Reescrevendo a forma já obtida:
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-1}{x}.
Colocando todos os termos num mesmo lado:
\frac{dy}{dx} - \frac{y^{2}}{x} = -\frac{1}{x}.
Compare com a forma linear a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=b(x). Note que na nossa equação aparece o termo \dfrac{y^{2}}{x}, isto é, um termo envolvendo y^{2}. Esse termo depende não só de x multiplicando y mas de y ao quadrado. Por causa desse \,y^{2}\, não é possível escrever a equação na forma linear acima — o aparecimento de y^{2} é uma não-linearidade (expoente de y diferente de 1).
Assim a equação é não-linear. A justificativa objetiva: existe um termo \dfrac{y^{2}}{x} (ou, equivalente, y^{2} em lado direito) que impede escrever a equação na forma linear em y e \dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Comentário prático e dica para a prova (não é exigido para classificar, mas é útil): a equação pertence à família das equações de Bernoulli com expoente n=2. A forma padrão de Bernoulli é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
No nosso caso pode-se reorganizar para ver n=2 e, com a substituição apropriada u=y^{1-n}=y^{-1}, transformar a equação numa linear em u. Isso é útil se for necessário resolver a equação, mas para a classificação basta a justificativa do passo anterior.

Resposta

Ordem: 1
Não-linear

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