Classifique as equações abaixo determinando a ordem e se são lineares ou não-lineares. Caso seja não-linear, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
O que se pede:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Se for não-linear, justificar por que é não-linear.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação numa forma explícita envolvendo a derivada
, porque isso facilita identificar a ordem e a linearidade. Dividindo toda a equação por
(assumindo
) obtemos
Isolando
,
Agora explico o que é ordem de uma equação diferencial: ordem é a maior derivada presente na equação. Aqui aparece apenas
, ou seja, a derivada de primeira ordem. Portanto a ordem é 1.
Passo 3
Vou explicar com calma o que significa uma equação diferencial ser linear (no contexto de ordens baixas, especialmente 1a ordem), porque é o ponto chave da classificação.
Definição prática para equações de primeira ordem: uma equação de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
onde
,
e
são funções que dependem somente da variável independente
(não de
). Em outras palavras, a incógnita
e sua derivada aparecem apenas com expoentes 1 e não multiplicados entre si — não deve haver termos como
,
,
, etc. Esses tipos de termos tornam a equação não-linear.
Passo 4
Apliquei a definição à nossa equação. Reescrevendo a forma já obtida:
Colocando todos os termos num mesmo lado:
Compare com a forma linear
. Note que na nossa equação aparece o termo
, isto é, um termo envolvendo
. Esse termo depende não só de
multiplicando
mas de
ao quadrado. Por causa desse
não é possível escrever a equação na forma linear acima — o aparecimento de
é uma não-linearidade (expoente de
diferente de 1).
Assim a equação é não-linear. A justificativa objetiva: existe um termo
(ou, equivalente,
em lado direito) que impede escrever a equação na forma linear em
e
.
Passo 5
Comentário prático e dica para a prova (não é exigido para classificar, mas é útil): a equação pertence à família das equações de Bernoulli com expoente
. A forma padrão de Bernoulli é
No nosso caso pode-se reorganizar para ver
e, com a substituição apropriada
, transformar a equação numa linear em
. Isso é útil se for necessário resolver a equação, mas para a classificação basta a justificativa do passo anterior.
Resposta
Ordem: 1
Não-linear
Não-linear