Considere a equação diferencial
Para cada um dos pontos do plano
abaixo, verifique se o Teorema de Existência e Unicidade de EDO se aplica. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que, para o ponto
, verifiquemos se o Teorema de Existência e Unicidade de EDO se aplica.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Ponto inicial:
. - A função do lado direito da EDO é
(observe que não depende de explicitamente). - O que precisa ser verificado: se as hipóteses do teorema (continuidade de
e condição de Lipschitz em , ou uma hipótese suficiente como contínua) são satisfeitas numa vizinhança do ponto.
Passo 2
Vou lembrar, de forma simples e prática, o que o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) exige em termos verificáveis:
- Seja dada a EDO
e um ponto inicial . - Uma hipótese suficiente (e usual para checar rapidamente) é: existe um retângulo aberto
tal que é contínua em e existe e é contínua em . Nesse caso garantimos existência local e unicidade da solução que passa por . - Explicando as palavras:
- "Contínua em
" significa que tem valor real bem definido e varia sem saltos em todos os pontos do retângulo . - "
contínua em " é uma condição prática que implica que é Lipschitz em naquele retângulo (garantindo unicidade).
- "Contínua em
- Então, para aplicar o teorema no ponto dado, preciso checar se existe alguma vizinhança de
onde e (ou pelo menos ) sejam reais e contínuos.
Passo 3
Determinar o domínio (onde
é real e definida):
está definida como número real exatamente quando o radicando é não negativo:
Resolvendo,
Portanto o domínio real de
é o conjunto
ou seja, todas as fibras em
com
ou
. Em particular,
NÃO está definido para valores de
com
.
Passo 4
Aplicando isso ao ponto dado: a coordenada
naquele ponto é
. Calculando o radicando:
Logo
não pertence ao domínio real de
:
Como
não está nem definida (logo não é contínua) em qualquer vizinhança de
no plano real, não existe nenhum retângulo aberto ao redor de
onde as hipóteses usuais do teorema (continuidade de
ou continuidade de
) possam ser verificadas.
Passo 5
Conclusão lógica e interpretação:
- O Teorema de Existência e Unicidade exige que
seja real e contínua numa vizinhança do ponto inicial. Aqui isso falha imediatamente porque não está definida em (radicando negativo). - Portanto o teorema NÃO se aplica em
. - Interpretação prática: não há solução real diferenciável de
que passe por , pois no instante em que a derivada exigida seria , que não é um número real.
Passo 6
Comentário adicional (para fixar a ideia, sem alterar a resposta):
- Em contraste, para pontos com
a função é definida (vale ), porém tende a infinito na borda e pode não ser contínua; assim nesses pontos o teorema clássico pode não garantir unicidade mesmo quando existe solução (por exemplo é uma solução). Isso só para você ficar esperto com as diferenças entre “estar no domínio” e “ter todas as hipóteses do teorema satisfeitas”.
Resposta
Não — o Teorema de Existência e Unicidade NÃO se aplica em
.