Considere a equação diferencial
y^{\prime}=\sqrt{y^{2}-9} .
Para cada um dos pontos do plano x y abaixo, verifique se o Teorema de Existência e Unicidade de EDO se aplica. Justifique sua resposta.
(-1,1)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\sqrt{y^{2}-9}
e pede que, para o ponto (-1,1), verifiquemos se o Teorema de Existência e Unicidade de EDO se aplica.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto inicial: (-1,1).
  • A função do lado direito da EDO é f(x,y)=\sqrt{y^{2}-9} (observe que não depende de x explicitamente).
  • O que precisa ser verificado: se as hipóteses do teorema (continuidade de f e condição de Lipschitz em y, ou uma hipótese suficiente como \partial f/\partial y contínua) são satisfeitas numa vizinhança do ponto.

Passo 2

Vou lembrar, de forma simples e prática, o que o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) exige em termos verificáveis:
  • Seja dada a EDO y'=f(x,y) e um ponto inicial (x_0,y_0).
  • Uma hipótese suficiente (e usual para checar rapidamente) é: existe um retângulo aberto R=\{(x,y)\mid |x-x_0|<a,\;|y-y_0|<b\} tal que f é contínua em R e \partial f/\partial y existe e é contínua em R. Nesse caso garantimos existência local e unicidade da solução que passa por (x_0,y_0).
  • Explicando as palavras:
    • "Contínua em R" significa que f(x,y) tem valor real bem definido e varia sem saltos em todos os pontos do retângulo R.
    • " \partial f/\partial y contínua em R" é uma condição prática que implica que f é Lipschitz em y naquele retângulo (garantindo unicidade).
  • Então, para aplicar o teorema no ponto dado, preciso checar se existe alguma vizinhança de (-1,1) onde f e \partial f/\partial y (ou pelo menos f) sejam reais e contínuos.

Passo 3

Determinar o domínio (onde f é real e definida):
f(x,y)=\sqrt{y^{2}-9}
está definida como número real exatamente quando o radicando é não negativo:
y^{2}-9\ge 0.
Resolvendo,
y^{2}\ge 9 \quad\Longleftrightarrow\quad |y|\ge 3.
Portanto o domínio real de f é o conjunto
\{(x,y)\mid |y|\ge 3\},
ou seja, todas as fibras em y com y\le -3 ou y\ge 3. Em particular, f NÃO está definido para valores de y com |y|<3.

Passo 4

Aplicando isso ao ponto dado: a coordenada y naquele ponto é 1. Calculando o radicando:
1^{2}-9 = -8 < 0.
Logo ( -1,1) não pertence ao domínio real de f:
(-1,1)\notin\{(x,y)\mid |y|\ge 3\}.
Como f não está nem definida (logo não é contínua) em qualquer vizinhança de (-1,1) no plano real, não existe nenhum retângulo aberto ao redor de (-1,1) onde as hipóteses usuais do teorema (continuidade de f ou continuidade de \partial f/\partial y) possam ser verificadas.

Passo 5

Conclusão lógica e interpretação:
  • O Teorema de Existência e Unicidade exige que f seja real e contínua numa vizinhança do ponto inicial. Aqui isso falha imediatamente porque f não está definida em ( -1,1) (radicando negativo).
  • Portanto o teorema NÃO se aplica em (-1,1).
  • Interpretação prática: não há solução real diferenciável de y'= \sqrt{y^{2}-9} que passe por (-1,1), pois no instante em que y=1 a derivada exigida seria \sqrt{-8}, que não é um número real.

Passo 6

Comentário adicional (para fixar a ideia, sem alterar a resposta):
  • Em contraste, para pontos com y=\pm 3 a função f é definida (vale 0), porém \partial f/\partial y tende a infinito na borda e pode não ser contínua; assim nesses pontos o teorema clássico pode não garantir unicidade mesmo quando existe solução (por exemplo y\equiv 3 é uma solução). Isso só para você ficar esperto com as diferenças entre “estar no domínio” e “ter todas as hipóteses do teorema satisfeitas”.

Resposta

Não — o Teorema de Existência e Unicidade NÃO se aplica em (-1,1).

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