Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (f) (Corda sujeita à ação de uma força restauradora)
ut t=c^2 ux x-alpha u & se 00, alpha>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial parcial que descreve como uma corda vibrando reage ao longo do tempo e do espaço. A gente vai usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Precisamos entender um pouco de equações de ondas, condições de contorno e como aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
utt = c^2 uxx - alpha u
Aqui, $ u(x, t) $ descreve o deslocamento da corda no ponto $ x $ e no tempo $ t $. As condições de contorno são $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, e as condições iniciais são $ u(x, 0) = f(x) $ e $ u_t(x, 0) = g(x) $.

Passo 3

Vamos aplicar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
x

Passo 4

Substituímos $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação diferencial:
u(x, t) = X(x) T(t)

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados por $ X(x) T(t) $ para separar as variáveis:
X(x) T(t)
Como o lado esquerdo depende só de $ t $ e o lado direito só de $ x $, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de $ -\lambda $.

Passo 6

Isso nos dá duas equações:
  1. Para o tempo:
T''(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para o espaço:
c^2 X''(x) - alpha X(x) + lambda X(x) = 0 Rightarrow X''(x) + (lambda - alphac^2) X(x) = 0

Passo 7

As condições de contorno $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $ implicam que $ X(0) = X(L) = 0 $. Isso nos leva a um problema de valor de contorno para $ X(x) $, cuja solução envolve funções trigonométricas.

Passo 8

Vamos definir $ \mu^2 = \frac{\lambda - \alpha}{c^2} $. A equação para $ X(x) $ fica:
mu^2 = lambda - alphac^2
Com as condições de contorno $ X(0) = X(L) = 0 $, as soluções não triviais existem quando $ \mu = \frac{n\pi}{L} $, onde $ n $ é um inteiro positivo.

Passo 9

Assim, os autovalores são:
lambdan = alpha + c^2 (npiL)^2
E as funções próprias são:
Xn(x) = sin(npi xL)

Passo 10

Para cada $ n $, a equação para $ T(t) $ fica:
n

Passo 11

A solução geral é a soma das soluções para todos os modos $ n $:
n

Passo 12

Para determinar os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $, usamos as condições iniciais:
  1. $ u(x, 0) = f(x) $:
An
  1. $ u_t(x, 0) = g(x) $:
Bn
Isso leva aos coeficientes de Fourier:
u(x, 0) = f(x)
sumn=1^infty An sin(npi xL) = f(x)

Resposta

A solução geral do problema é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ ( 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx ) cos(raizalpha + (npi cL)^2 , t)
+ ( 2L raizalpha + (npi cL)^2 integral0^L g(x) sin(npi xL) dx ) sin(raizalpha + (npi cL)^2 , t) ] sin(npi xL)
Essa expressão representa a solução da equação diferencial dada, considerando as condições de contorno e iniciais fornecidas.

Exercícios relacionados