Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (f) (Corda sujeita à ação de uma força restauradora)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial parcial que descreve como uma corda vibrando reage ao longo do tempo e do espaço. A gente vai usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Precisamos entender um pouco de equações de ondas, condições de contorno e como aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui, $ u(x, t) $ descreve o deslocamento da corda no ponto $ x $ e no tempo $ t $. As condições de contorno são $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, e as condições iniciais são $ u(x, 0) = f(x) $ e $ u_t(x, 0) = g(x) $.
Passo 3
Vamos aplicar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Passo 4
Substituímos $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação diferencial:
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por $ X(x) T(t) $ para separar as variáveis:
Como o lado esquerdo depende só de $ t $ e o lado direito só de $ x $, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de $ -\lambda $.
Passo 6
Isso nos dá duas equações:
- Para o tempo:
- Para o espaço:
Passo 7
As condições de contorno $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $ implicam que $ X(0) = X(L) = 0 $. Isso nos leva a um problema de valor de contorno para $ X(x) $, cuja solução envolve funções trigonométricas.
Passo 8
Vamos definir $ \mu^2 = \frac{\lambda - \alpha}{c^2} $. A equação para $ X(x) $ fica:
Com as condições de contorno $ X(0) = X(L) = 0 $, as soluções não triviais existem quando $ \mu = \frac{n\pi}{L} $, onde $ n $ é um inteiro positivo.
Passo 9
Assim, os autovalores são:
E as funções próprias são:
Passo 10
Para cada $ n $, a equação para $ T(t) $ fica:
Passo 11
A solução geral é a soma das soluções para todos os modos $ n $:
Passo 12
Para determinar os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $, usamos as condições iniciais:
- $ u(x, 0) = f(x) $:
- $ u_t(x, 0) = g(x) $:
Isso leva aos coeficientes de Fourier:
Resposta
A solução geral do problema é:
Essa expressão representa a solução da equação diferencial dada, considerando as condições de contorno e iniciais fornecidas.