Uma conexão de aço de baixa liga deve ser feita a partir de um tarugo de seção transversal circular submetido a forças cíclicas axiais que variam de um máximo de 270 kN de tração a um mínimo de 180 kN de compressão. As propriedades monotônicas são:
  • ( S_{x}=690, \mathrm{MPa} )
  • ( S_{y}=524, \mathrm{MPa} )
Calcule o diâmetro que a conexão deve ter para ter vida infinita.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (dados que vou usar; peguei os números do enunciado):
  • Forças cíclicas axiais: máximo de tração F_{\max}=270\\ \text{kN} e mínimo de compressão F_{\min}=-180\\ \text{kN}.
  • Propriedades monotônicas fornecidas: S_{x}=690\\ \text{MPa} e S_{y}=524\\ \text{MPa}.
  • Pedido: determinar o diâmetro d de um tarugo de seção circular para que a conexão tenha vida infinita (isto é, projetar contra fadiga para que não falhe).
Observações de enunciado que vou usar sem perguntar nada:
  • Vou considerar S_{x}=690\\ \text{MPa} como a resistência à tração última S_{ut} (valor típico indicado por S_x).
  • O problema não fornece fatores de acabamento de superfície, tamanho, etc., então vou assumir condições ideais de referência (corr. = 1) e estimar o limite de resistência à fadiga baseado em uma regra prática padrão (explicarei no Passo 3).
  • Não pede fator de segurança explícito, então vou projetar usando a condição limite de resistência à fadiga igualitária (critério de resistência = 1), ou seja, uso a igualdade da condição de projeto.

Passo 2

Definição de tensões internas associadas às forças e explicação didática das quantidades usadas.
  1. Área da seção circular:
A=\frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro em \mathrm{mm} e A em \mathrm{mm}^2.
  1. Conversão das forças para unidades consistentes:
F_{\max}=270\\ \text{kN}=270000\\ \text{N},\qquad F_{\min}=-180\\ \text{kN}=-180000\\ \text{N}.
Explicação: para obter tensões em \mathrm{MPa} (que é igual a \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2) uso F em N e A em \mathrm{mm}^2.
  1. Tensões decorrentes das forças (uniaxial axial):
    A tensão instantânea é \sigma=F/A. Para carregamento cíclico usamos a decomposição em componente média e componente alternante (isto é padrão em fadiga):
\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2},\qquad \sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2},
onde \sigma_{\max}=F_{\max}/A e \sigma_{\min}=F_{\min}/A.
Substituindo F por números e mantendo a dependência em A:
\sigma_a=\frac{F_{\max}-F_{\min}}{2A}=\frac{270000-(-180000)}{2A}=\frac{225000}{A}\\ \text{(MPa)},
\sigma_m=\frac{F_{\max}+F_{\min}}{2A}=\frac{270000+(-180000)}{2A}=\frac{45000}{A}\\ \text{(MPa)}.
Comentário didático: \sigma_a é a amplitude alternante da tensão (mede o “tremor” do ciclo) e \sigma_m é a tensão média (mede deslocamento em torno do qual o ciclo ocorre). Ambos afetam a fadiga: \sigma_a causa iniciação de trincas e \sigma_m tende a reduzir a capacidade de fadiga se for de tração (piora quando a média é positiva).

Passo 3

Escolha do critério de fadiga e estimativa do limite de fadiga S_e. Explicação didática das fórmulas usadas.
  1. Critério escolhido e por quê:
  • Vou usar a forma modificada de Goodman (Modified Goodman). Por que? É um critério simples, amplamente utilizado para projeto uniaxial de condição de vida infinita quando se conhece o limite de fadiga efetivo S_e e a resistência última S_{ut}. É menos conservador que Soderberg, mas é o método clássico para combinar efeito da tensão alternante e da tensão média.
  • A forma do critério (igualdade para projeto limite) é:
\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}=1.
Explicação: o termo \sigma_a/S_e mede a fração da capacidade alternante usada; o termo \sigma_m/S_{ut} mede a “penalização” por ter uma tensão média em relação à resistência última.
  1. Estimativa do limite de fadiga S_e:
  • Para a maioria dos aços de baixo ciclo polido usa-se a regra prática inicial \;S_e'=0,5\,S_{ut} (limite de fadiga sob dobramento rotativo, condição de referência).
  • Como não foram fornecidos fatores de correção (acabamento superficial, tamanho, fator de carregamento, temperatura, fator de confiabilidade), assumo todos esses fatores iguais a 1. Logo:
S_e = S_e' = 0{,}5\,S_{ut}=0{,}5\cdot 690\\ \text{MPa}=345\\ \text{MPa}.
Comentário: esta é uma hipótese comum em exercícios quando não se dá informação adicional. Se na prova houvesse fatores, teria que multiplicar por cada um deles.
  1. Escrevendo o critério com as expressões em função de A:
\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}=\frac{225000/A}{345}+\frac{45000/A}{690}=1.
Expliquei cada símbolo:
  • \sigma_a=\dfrac{225000}{A} (MPa),
  • \sigma_m=\dfrac{45000}{A} (MPa),
  • S_e=345\\ \text{MPa},
  • S_{ut}=690\\ \text{MPa}.

Passo 4

Resolver algebricamente para A e obter o diâmetro d. Contas passo a passo.
  1. Reescrever a equação:
\frac{225000}{345A}+\frac{45000}{690A}=1.
  1. Calcular os coeficientes numéricos:
\frac{225000}{345}=652{,}173913\ldots,\qquad \frac{45000}{690}=65{,}2173913\ldots
Somando:
652{,}173913+65{,}217391=717{,}391304\ldots
  1. Portanto
\frac{717{,}391304}{A}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=717{,}391304\\ \mathrm{mm}^2.
  1. Calcular o diâmetro da seção circular:
A=\frac{\pi d^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo A:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 717{,}391304}{\pi}}=\sqrt{913{,}54459\ldots}=30{,}238\ldots\\ \mathrm{mm}.
  1. Arredondamento prático:
  • Para fabricação é razoável escolher um diâmetro padrão ligeiramente maior para garantir segurança; matematicamente o valor calculado é d\approx 30{,}24\\ \mathrm{mm}. Poderia especificar, por exemplo, d=31\\ \mathrm{mm} como diâmetro comercial seguro.

Passo 5

Resumo interpretativo e observações finais (muito didático e útil na prova):
  • Resultado calculado usando Modified Goodman e assumindo S_e=0{,}5S_{ut} sem correções.
  • Se na prova o enunciado desse fatores de superfície, tamanho, ou pedisse Soderberg em vez de Goodman, o procedimento seria o mesmo estruturalmente, apenas mudando a fórmula final (ex.: Soderberg usa S_y no denominador do termo da média e tende a dar área maior).
  • Dica prática para a prova: sempre calcule \sigma_a e \sigma_m em função de A, escolha o critério pedido (Goodman/Soderberg/Gerber), estime S_e com justificativa e resolva a igualdade para A e depois para d. Assim não se perde tempo pedindo dados extras.

Resposta

d \approx 30{,}24\\ \mathrm{mm}

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