Use o método da substituição para calcular as integrais:
integral0^pi / 2 -sen(x)1+cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral usando o método da substituição. A questão que temos é calcular a integral definida de 0 até π/2 de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais e como simplificar expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador e o numerador , uma boa ideia é deixar . Isso porque a derivada de é , que já aparece no numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dt = -sin(x) dx em relação a :
Isso significa que , exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Assim, podemos substituir as partes da integral em termos de .

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável integral1^0 11 + t^2 dt :
  • Quando :
  • Quando :
Então, nossa integral fica:
Note que os limites de integração estão de 1 para 0, mas vamos inverter isso para facilitar.

Passo 5

Invertendo os limites de integração, mudamos o sinal da integral:
- integral0^1 11 + t^2 dt
Essa integral é padrão e sabemos que:
integral 11 + t^2 dt = arctan(t) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
- [ arctan(1) - arctan(0) ] = - [ pi4 - 0 ] = -pi4

Resposta

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