Use o método da substituição para calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral usando o método da substituição. A questão que temos é calcular a integral definida de 0 até π/2 de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais e como simplificar expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador
e o numerador
, uma boa ideia é deixar
. Isso porque a derivada de
é
, que já aparece no numerador.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
, exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Assim, podemos substituir as partes da integral em termos de
.
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável
:
- Quando
: - Quando
:
Então, nossa integral fica:
Note que os limites de integração estão de 1 para 0, mas vamos inverter isso para facilitar.
Passo 5
Invertendo os limites de integração, mudamos o sinal da integral:
Essa integral é padrão e sabemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1: