Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar a técnica de integração. Primeiro, precisamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou a
. Como as equações estão escritas em termos de
, integrar em relação a
parece mais simples.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Fatorando:
Então, os pontos de interseção ocorrem quando
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção identificados, vamos determinar qual das duas funções está à direita ou à esquerda no intervalo de integração. Para isso, escolhemos um valor de
entre 0 e 3, por exemplo,
:
Como
, a segunda curva está à direita da primeira no intervalo considerado.
Passo 4
Agora, configuramos a integral para calcular a área. A área
será a integral da diferença entre as funções da direita e da esquerda, de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.