Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e ;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar a técnica de integração. Primeiro, precisamos decidir se é melhor integrar em relação a ou a . Como as equações estão escritas em termos de , integrar em relação a parece mais simples.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Fatorando:
Então, os pontos de interseção ocorrem quando e .

Passo 3

Com os pontos de interseção identificados, vamos determinar qual das duas funções está à direita ou à esquerda no intervalo de integração. Para isso, escolhemos um valor de entre 0 e 3, por exemplo, :
Como , a segunda curva está à direita da primeira no intervalo considerado.

Passo 4

Agora, configuramos a integral para calcular a área. A área será a integral da diferença entre as funções da direita e da esquerda, de a :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.

Exercícios relacionados