Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
x=y^2-4 y e x=2 y-y^2;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo para encontrar a área da região delimitada pelas curvas x = y^2 - 4y e x = 2y - y^2. Para isso, vamos usar a técnica de integração. Primeiro, precisamos decidir se é melhor integrar em relação a x ou a y. Como as equações estão escritas em termos de x, integrar em relação a y parece mais simples.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
y^2 - 4y = 2y - y^2
Simplificando:
2y^2 - 6y = 0
Fatorando:
2y(y - 3) = 0
Então, os pontos de interseção ocorrem quando y = 0 e y = 3.

Passo 3

Com os pontos de interseção identificados, vamos determinar qual das duas funções está à direita ou à esquerda no intervalo de integração. Para isso, escolhemos um valor de y entre 0 e 3, por exemplo, y = 1:
x = (1)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3 (primeira curva)
x = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 (segunda curva)
Como 1 > -3, a segunda curva está à direita da primeira no intervalo considerado.

Passo 4

Agora, configuramos a integral para calcular a área. A área A será a integral da diferença entre as funções da direita e da esquerda, de y = 0 a y = 3:
A = integral0^3 [ (2y - y^2) - (y^2 - 4y) ] dy
Simplificando a expressão dentro da integral:
A = integral0^3 (6y - 2y^2) , dy

Passo 5

Vamos calcular a integral:
A = integral0^3 (6y - 2y^2) , dy = [ 3y^2 - 23y^3 ]0^3
Substituindo os limites:
A = ( 3(3)^2 - 23(3)^3 ) - ( 3(0)^2 - 23(0)^3 ) = (27 - 18) - (0 - 0) = 9

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.

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