Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{\left(4 x^{3}+1\right)^{7}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral usando o método de substituição:
\int \frac{x^{2}}{\left(4 x^{3}+1\right)^{7}}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}}{(4x^{3}+1)^{7}}.
  • O método exigido é a substituição (trocar uma expressão por uma nova variável para simplificar).
  • Queremos transformar a integral numa forma mais simples, integrar e voltar à variável x.

Passo 2

Escolha da substituição e por quê:
  • Olhe para a parte interna do denominador \left(4x^{3}+1\right) — é uma função composta do tipo f(g(x)).
  • A derivada dessa parte interna dá algo proporcional a x^{2}, que aparece no numerador; isso indica que a substituição
u = 4x^{3}+1
é uma boa escolha.
Explicação da regra de substituição (fórmula que usamos):
  • Se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui f é a função externa (a potência negativa) e g é a função interna \left(4x^{3}+1\right).

Passo 3

Calcular du e isolar x^{2}\,dx:
  • Diferenciando u=4x^{3}+1 obtemos
du = 12x^{2}\,dx.
  • Isolando x^{2}\,dx temos
x^{2}\,dx = \frac{1}{12}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em u:
  • Substitua 4x^{3}+1 por u e x^{2}\,dx por \dfrac{1}{12}\,du:
\int \frac{x^{2}}{\left(4 x^{3}+1\right)^{7}}\,dx = \int \frac{1}{u^{7}}\cdot\frac{1}{12}\,du = \frac{1}{12}\int u^{-7}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência:
  • A regra da potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=-7, então
\int u^{-7}\,du = \frac{u^{-6}}{-6}+C.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{12} obtém-se
\frac{1}{12}\cdot\frac{u^{-6}}{-6} = -\frac{1}{72}\,u^{-6}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x e escrever a resposta final:
  • Substitua u=4x^{3}+1 de volta:
-\frac{1}{72}\,u^{-6}+C = -\frac{1}{72}\left(4x^{3}+1\right)^{-6}+C.
  • Opcionalmente escrever de forma com denominador:
-\frac{1}{72\left(4x^{3}+1\right)^{6}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivação da primitiva volta ao integrando):
  • Derivando -\dfrac{1}{72}\left(4x^{3}+1\right)^{-6} pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{72}\left(4x^{3}+1\right)^{-6}\right] = -\frac{1}{72}\cdot(-6)\left(4x^{3}+1\right)^{-7}\cdot 12x^{2} = x^{2}\left(4x^{3}+1\right)^{-7},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Força aí — essa é a técnica que costuma cair direto na prova!

Resposta

-\dfrac{1}{72}\left(4x{3}+1\right){-6}+C

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