Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral usando o método de substituição:
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é
. - O método exigido é a substituição (trocar uma expressão por uma nova variável para simplificar).
- Queremos transformar a integral numa forma mais simples, integrar e voltar à variável
.
Passo 2
Escolha da substituição e por quê:
- Olhe para a parte interna do denominador
— é uma função composta do tipo . - A derivada dessa parte interna dá algo proporcional a
, que aparece no numerador; isso indica que a substituição
é uma boa escolha.
Explicação da regra de substituição (fórmula que usamos):
- Se
e , então
Aqui
é a função externa (a potência negativa) e
é a função interna
.
Passo 3
Calcular
e isolar
:
- Diferenciando
obtemos
- Isolando
temos
Passo 4
Reescrever a integral em
:
- Substitua
por e por :
Passo 5
Integrar usando a regra da potência:
- A regra da potência para integrais diz que, para
,
- Aqui
, então
- Multiplicando pelo fator
obtém-se
Passo 6
Voltar para a variável
e escrever a resposta final:
- Substitua
de volta:
- Opcionalmente escrever de forma com denominador:
Passo 7
Verificação rápida (derivação da primitiva volta ao integrando):
- Derivando
pela regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Força aí — essa é a técnica que costuma cair direto na prova!
Resposta
-\dfrac{1}{72}\left(4x{3}+1\right){-6}+C