Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A integranda é
. - Pede-se a primitiva (antiderivada) em função de
. - Foi solicitado usar o método de substituição.
Passo 2
Ideia do método de substituição (explicação didática e geral): escolher uma nova variável
que simplifique a expressão. Se definirmos
, então
. Substituindo
e
na integral obtemos uma integral em
possivelmente mais fácil. Lembrete da regra de potências para integrar: para
,
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Escolha da substituição: observar que há
no denominador, então uma escolha natural é
Calcule
e escreva
em função de
:
Passo 4
Fazer a troca na integral usando
e
:
Agora transforme em potências (mais fácil de integrar):
Logo a integral vira
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra de potências. Para
temos
, então
Para
temos
, então
Multiplicando pelo coeficiente
obtemos
. Portanto a primitiva em
é
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
É interessante simplificar fatorando
:
Colocando fator comum
obtemos a forma mais compacta
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas pedagógica): derivando
pelo produto e simplificando obtém-se
, confirmando que a antiderivada está correta.