Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{t}{\sqrt{t+5}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{t}{\sqrt{t+5}}\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{t}{\sqrt{t+5}}.
  • Pede-se a primitiva (antiderivada) em função de t.
  • Foi solicitado usar o método de substituição.

Passo 2

Ideia do método de substituição (explicação didática e geral): escolher uma nova variável u que simplifique a expressão. Se definirmos u=g(t), então du=g'(t)\,dt. Substituindo u e du na integral obtemos uma integral em u possivelmente mais fácil. Lembrete da regra de potências para integrar: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Escolha da substituição: observar que há \sqrt{t+5} no denominador, então uma escolha natural é
u=t+5.
Calcule du e escreva t em função de u:
du=dt \quad\text{(porque }du/dt=1\text{)},
t=u-5.

Passo 4

Fazer a troca na integral usando t=u-5 e dt=du:
\int \frac{t}{\sqrt{t+5}}\,dt = \int \frac{u-5}{\sqrt{u}}\,du.
Agora transforme em potências (mais fácil de integrar):
\frac{u-5}{\sqrt{u}}=\frac{u}{u^{1/2}}-\frac{5}{u^{1/2}}=u^{1/2}-5u^{-1/2}.
Logo a integral vira
\int \left(u^{1/2}-5u^{-1/2}\right)\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra de potências. Para u^{1/2} temos n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Para u^{-1/2} temos n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
Multiplicando pelo coeficiente -5 obtemos -5\cdot 2u^{1/2}=-10u^{1/2}. Portanto a primitiva em u é
\frac{2}{3}u^{3/2}-10u^{1/2}+C.

Passo 6

Voltar para a variável original t substituindo u=t+5:
\frac{2}{3}(t+5)^{3/2}-10(t+5)^{1/2}+C.
É interessante simplificar fatorando (t+5)^{1/2}:
(t+5)^{1/2}\!\left(\frac{2}{3}(t+5)-10\right) =(t+5)^{1/2}\!\left(\frac{2}{3}t+\frac{10}{3}-10\right) =(t+5)^{1/2}\!\left(\frac{2}{3}t-\frac{20}{3}\right).
Colocando fator comum \tfrac{2}{3} obtemos a forma mais compacta
\frac{2}{3}(t-10)\sqrt{t+5}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas pedagógica): derivando \dfrac{2}{3}(t-10)\sqrt{t+5} pelo produto e simplificando obtém-se \dfrac{t}{\sqrt{t+5}}, confirmando que a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}(t-10)\sqrt{t+5}+C

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