Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\csc (7 x) \cot (7 x)}{(1+\csc (7 x))^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\csc(7x)\,\cot(7x)}{\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{4}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar o conhecimento de que \frac{d}{dx}[\csc(7x)]=-7\,\csc(7x)\,\cot(7x).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + \csc(7x).
Isso simplifica o denominador e aproveita a derivada de \csc(7x).

Passo 3

Calculamos du. Como
\frac{d}{dx}\bigl(\csc(7x)\bigr) = -7\,\csc(7x)\,\cot(7x),
temos
du = -7\,\csc(7x)\,\cot(7x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc(7x)\,\cot(7x)\,dx = -\frac{1}{7}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \frac{\csc(7x)\,\cot(7x)}{\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{4}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{7}\,du}{u^{4}} = -\frac{1}{7}\,\int u^{-4}\,du.

Passo 5

Integramos u^{-4}:
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3\,u^{3}} + C.
Então
-\frac{1}{7}\,\int u^{-4}\,du = -\frac{1}{7}\,\Bigl(-\frac{1}{3\,u^{3}}\Bigr) + C = \frac{1}{21\,u^{3}} + C.

Passo 6

Voltando à variável x, temos u = 1 + \csc(7x). Logo a primitiva é
\frac{1}{21\,\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{3}} + C.

Resposta

\int \frac{\csc(7x)\,\cot(7x)}{\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{4}}\,dx = \frac{1}{21\,\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{3}} + C.

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