Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \operatorname{sec} ^{2}(3 x) \tan (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^2(3x)\,\tan(3x)\,dx
usando o método de substituição. Vamos reconhecer uma parte da derivada que aparece dentro da integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan(3x).
Diferenciando em relação a x, temos
\frac{du}{dx} = 3\,\operatorname{sec}^2(3x),
ou seja
\operatorname{sec}^2(3x)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
\int \operatorname{sec}^2(3x)\,\tan(3x)\,dx = \int u \,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para integrar em u:
\frac{1}{3}\int u\,du = \frac{1}{3}\,\frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{6} + C.
Voltando à variável original x, substituímos u = \tan(3x):

Resposta

\frac{\tan^2(3x)}{6} + C.

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