Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações fornecidas:
- A integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (pedem a primitiva, com constante de integração).
- Não há outras restrições ou condições.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem didática, o que é o método de substituição: quando a integranda contém uma expressão composta do tipo
elevada a uma potência ou multiplicada por
, é útil definir uma nova variável
e usar a diferencial
para simplificar. A ideia é reescrever toda a expressão em termos de
e
, transformando a integral numa integral mais simples em
.
Regra prática que usaremos aqui:
- Se escolhermos
, então . - Podemos resolver para termos como
em função de para substituir tudo.
Também vamos usar a regra de potência para integrar em
:
Passo 3
Escolha da substituição: observar
no denominador. A derivada de
é
, que aparece (até constante) multiplicando
. Portanto fazemos a substituição natural:
Calcule
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Reescrevendo a integral original em
: substituir
por
e
por
. Assim
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência para integrar
. Como
,
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 6
Voltar à variável original substituindo
. Temos a primitiva
Podemos escrever também de forma equivalente
Passo 7
Verificação rápida (checagem): derivando a primitiva encontrada deve retornar a integranda.
Derivar :
Derivar
que é exatamente a integranda. Verificação completa.