Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+4\right)^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+4\right)^{5}}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A integranda é \dfrac{x^{2}}{(x^{3}+4)^{5}}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (pedem a primitiva, com constante de integração).
  • Não há outras restrições ou condições.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem didática, o que é o método de substituição: quando a integranda contém uma expressão composta do tipo g(x) elevada a uma potência ou multiplicada por g'(x), é útil definir uma nova variável \,u=g(x) e usar a diferencial \,du=g'(x)\,dx para simplificar. A ideia é reescrever toda a expressão em termos de u e du, transformando a integral numa integral mais simples em u.
Regra prática que usaremos aqui:
  • Se escolhermos \,u=g(x), então \,du=g'(x)\,dx.
  • Podemos resolver para termos como x^{2}\,dx em função de du para substituir tudo.
Também vamos usar a regra de potência para integrar em u:
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}.

Passo 3

Escolha da substituição: observar (x^{3}+4) no denominador. A derivada de x^{3}+4 é 3x^{2}, que aparece (até constante) multiplicando dx. Portanto fazemos a substituição natural:
u=x^{3}+4.
Calcule du:
du=3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral original em u: substituir \,x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e \,(x^{3}+4) por u. Assim
\int \frac{x^{2}}{(x^{3}+4)^{5}}\,dx = \int \frac{1}{u^{5}}\cdot\left(\frac{1}{3}\,du\right) = \frac{1}{3}\int u^{-5}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^{-5}. Como n=-5\neq -1,
\int u^{-5}\,du=\frac{u^{-4}}{-4}+C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} que estava fora da integral:
\frac{1}{3}\int u^{-5}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-4}}{-4}+C=\frac{u^{-4}}{-12}+C.

Passo 6

Voltar à variável original substituindo u=x^{3}+4. Temos a primitiva
\frac{u^{-4}}{-12}+C = -\frac{1}{12}\,u^{-4}+C = -\frac{1}{12}\,(x^{3}+4)^{-4}+C.
Podemos escrever também de forma equivalente
-\frac{1}{12}\,\frac{1}{(x^{3}+4)^{4}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): derivando a primitiva encontrada deve retornar a integranda.
Derivar F(x)=-\dfrac{1}{12}(x^{3}+4)^{-4}:
F'(x)=-\frac{1}{12}\cdot(-4)(x^{3}+4)^{-5}\cdot 3x^{2} =\frac{4\cdot 3}{12}x^{2}(x^{3}+4)^{-5} =x^{2}(x^{3}+4)^{-5},
que é exatamente a integranda. Verificação completa.

Resposta

-\dfrac{1}{12}(x^{3}+4)^{-4}+C

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