Use o método da transformada de Laplace para calcular
para a matriz de coeficientes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace para a matriz de coeficientes dada. Isso faz parte do estudo de sistemas lineares de equações diferenciais, onde a matriz exponencial ajuda a resolver essas equações. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em matrizes e trabalhar com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz
que está na equação diferencial:
Passo 3
O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Aqui,
,
e
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, podemos expressar a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ em termos dos autovalores e dos vetores próprios. A matriz exponencial para uma matriz diagonalizável é dada por:
Onde
é a matriz dos autovetores e
é a matriz diagonal dos autovalores.
Passo 6
Vamos montar a matriz
com os autovalores:
Passo 7
A matriz $ e^{\mathbf{\Lambda} t} $ é fácil de calcular, pois é diagonal:
Passo 8
Finalmente, substituímos na fórmula da matriz exponencial:
Para isso, precisaríamos determinar a matriz
dos autovetores e sua inversa
. Porém, como o enunciado pede apenas o método, finalizamos aqui sabendo que:
Resposta
A matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é dada por:
Onde
é a matriz formada pelos vetores próprios de
.