Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
lim (x, y, z) infty x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Temos a função de três variáveis
f(x,y,z)=x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2
e queremos o limite de f quando cada uma das variáveis (x, y, z) tende a +∞. O conteúdo aqui é aplicar o Teorema do Confronto (Sandwich Theorem) para mostrar que f → +∞.

Passo 2

O Teorema do Confronto diz que, se numa região eventual tivermos
g(x,y,z)<= f(x,y,z)
e g(x,y,z)→L (com L finito ou infinito), então f(x,y,z)→L.

Passo 3

Definimos
M=max|x|,|y|,|z|,
logo
x^2+y^2+z^2<= M^2+M^2+M^2=3M^2
Assim,
f(x,y,z)=x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2>=x^2y^2z^23M^2

Passo 4

Seja também
m=min|x|,|y|,|z|
Como duas das variáveis valem pelo menos m em módulo e uma delas vale M, temos
x^2y^2z^2>= m^2cdot m^2cdot M^2=m^4M^2
Logo
f(x,y,z)>=m^4M^23M^2=m^43

Passo 5

Quando (x,y,z)→(∞,∞,∞) temos m→∞, e portanto
m^43→+∞
Pelo Teorema do Confronto (versão estendida para limites infinitos), f(x,y,z) também tende a +∞.

Resposta

+infty

Exercícios relacionados