Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial com um termo descontinuo:
y^prime prime(t)+6 y^prime(t)+9 y(t)=u(t-1)
onde as condições iniciais são y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''(t)+6y'(t)+9y(t)=u(t-1)
guiado pela transformada de Laplace, com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos aplicar propriedades de transformada de Laplace e do retardo (Heaviside).

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s)
Temos
s^2Y(s)-1+6l(sY(s)r)+9Y(s)=Lu(t-1)=e^-ss
Agrupando termos em Y(s):
Y(s)(s^2+6s+9)-1=e^-ss Longrightarrow Y(s)=1s^2+6s+9+e^-ss(s^2+6s+9)

Passo 3

Reconhecemos que s^2+6s+9=(s+3)^2. Assim podemos escrever
$$Y(s)=\frac{1}{(s+3)2}+e{-s}\cdot\frac{1}{s(s+3)^2}.
$$
O primeiro termo é direto de inverter, e o segundo exige frações parciais em
Y(s)=1(s+3)^2+e^-scdot1s(s+3)^2

Passo 4

Fazer frações parciais em F(s)=1/[s(s+3)^2]. Procuramos
$$\frac{1}{s(s+3)2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{(s+3)2}.
$$
Multiplicando por 1s(s+3)^2=As+Bs+3+C(s+3)^2 e comparando coeficientes, obtemos
s(s+3)^2
Logo
$$F(s)=\frac{1/9}{s}-\frac{1/9}{s+3}-\frac{1/3}{(s+3)^2}.
$$

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Para o primeiro termo de Y(s):
$$L{-1}{1/(s+3)2}=t e^{-3t}.
$$
Para o segundo, usamos o teorema do retardamento:
L^-11/(s+3)^2=t e^-3t
onde
$$f(t)=L{-1}{F(s)}=\tfrac19-\tfrac{1}{9}e{-3t}-\tfrac{1}{3}t e^{-3t}.
$$

Passo 6

Juntando tudo, a solução é
y(t)=t e^-3t;+ ;u(t-1)l[tfrac19-tfrac19e^-3(t-1)-tfrac13(t-1)e^-3(t-1)r]

Passo 7

Concluímos que essa expressão satisfaz a EDO proposta e as condições iniciais.

Resposta

y(t)=t e{-3t}+u(t-1)\Bigl[\tfrac19-\tfrac{1}{9}e{-3(t-1)}-\tfrac{1}{3}(t-1)e^{-3(t-1)}\Bigr]

Exercícios relacionados