Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial com um termo descontinuo:
onde as condições iniciais são
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
guiado pela transformada de Laplace, com condições iniciais
e
. Vamos aplicar propriedades de transformada de Laplace e do retardo (Heaviside).
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Temos
Agrupando termos em
:
Passo 3
Reconhecemos que
. Assim podemos escrever
$$Y(s)=\frac{1}{(s+3)2}+e{-s}\cdot\frac{1}{s(s+3)^2}.
$$
O primeiro termo é direto de inverter, e o segundo exige frações parciais em
Passo 4
Fazer frações parciais em
. Procuramos
$$\frac{1}{s(s+3)2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{(s+3)2}.
$$
Multiplicando por
e comparando coeficientes, obtemos
Logo
$$F(s)=\frac{1/9}{s}-\frac{1/9}{s+3}-\frac{1/3}{(s+3)^2}.
$$
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa. Para o primeiro termo de
:
$$L{-1}{1/(s+3)2}=t e^{-3t}.
$$
Para o segundo, usamos o teorema do retardamento:
onde
$$f(t)=L{-1}{F(s)}=\tfrac19-\tfrac{1}{9}e{-3t}-\tfrac{1}{3}t e^{-3t}.
$$
Passo 6
Juntando tudo, a solução é
Passo 7
Concluímos que essa expressão satisfaz a EDO proposta e as condições iniciais.
Resposta
y(t)=t e{-3t}+u(t-1)\Bigl[\tfrac19-\tfrac{1}{9}e{-3(t-1)}-\tfrac{1}{3}(t-1)e^{-3(t-1)}\Bigr]