Use o Método de Variação de Parâmetro para resolver a EDO:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de terceira ordem
Informações dadas e o que se busca:
- Temos uma EDO linear não-homogênea de ordem
. - O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - Precisamos encontrar uma solução particular
e a solução geral . - Não há outras informações ou condições iniciais dadas.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação homogênea associada (isso é padrão antes de aplicar variação de parâmetros):
A equação característica é obtida trocando
por
:
Se as raízes dessa equação característica forem
(assumimos raízes distintas para simplificar a explicação), a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
são constantes arbitrárias. (Não precisamos calcular explicitamente
para encontrar a particular que vamos obter abaixo.)
Passo 3
Agora aplicamos a ideia da variação de parâmetros de forma adaptada ao caso em que o termo não-homogêneo é uma exponencial simples: procuramos uma solução particular da forma
isto é, variamos o “parâmetro” (o coeficiente) da função
. A ideia é permitir que
seja função e escolher
de modo que
satisfaça a EDO original.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
passo a passo (produtos com
):
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada terceira:
Agora substituímos em
. Agrupando os termos que multiplicam
obtemos:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
Logo a substituição dá
Queremos
. Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a EDO para
:
Passo 5
Agora resolvemos a equação para
. Observação prática e muito útil: se existe uma solução constante
constante, então as derivadas
são zero e a equação reduz para uma álgebra simples. Tomemos
constante; substituindo na equação de
obtemos
Portanto uma escolha muito simples de
que resolve a equação é
. (Isto é perfeitamente legítimo: bastamos encontrar qualquer solução
para obter uma solução particular
.)
Assim obtemos a solução particular
Uma observação didática: poderíamos procurar uma solução
não-constante, mas sua parte não-constante corresponderia a soluções da homogênea associada à equação para
, e isso só acrescentaria termos já presentes em
. Por isso escolher
constante é a maneira mais direta e econômica.
Passo 6
Finalmente, a solução geral da EDO original é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde
são as raízes da equação característica
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
onde
são as raízes da equação
.