Use o Método de Variação de Parâmetro para resolver a EDO:
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=e^{3x}.
Informações dadas e o que se busca:
  • Temos uma EDO linear não-homogênea de ordem 3.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é e^{3x}.
  • Precisamos encontrar uma solução particular y_p e a solução geral y=y_h+y_p.
  • Não há outras informações ou condições iniciais dadas.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação homogênea associada (isso é padrão antes de aplicar variação de parâmetros):
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0.
A equação característica é obtida trocando y^{(k)} por r^k:
r^3-2r^2-2r+2=0.
Se as raízes dessa equação característica forem r_1,r_2,r_3 (assumimos raízes distintas para simplificar a explicação), a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias. (Não precisamos calcular explicitamente r_i para encontrar a particular que vamos obter abaixo.)

Passo 3

Agora aplicamos a ideia da variação de parâmetros de forma adaptada ao caso em que o termo não-homogêneo é uma exponencial simples: procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u(x)e^{3x},
isto é, variamos o “parâmetro” (o coeficiente) da função e^{3x}. A ideia é permitir que u(x) seja função e escolher u de modo que y_p satisfaça a EDO original.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p passo a passo (produtos com e^{3x}):
y_p = u e^{3x}.
Derivada primeira:
y_p' = u' e^{3x} + 3u e^{3x}.
Derivada segunda:
y_p'' = u'' e^{3x} + 6u' e^{3x} + 9u e^{3x}.
Derivada terceira:
y_p''' = u''' e^{3x} + 9u'' e^{3x} + 27u' e^{3x} + 27u e^{3x}.
Agora substituímos em L[y]=y'''-2y''-2y'+2y. Agrupando os termos que multiplicam e^{3x} obtemos:
coeficiente de u:
27 - 2\cdot 9 -2\cdot 3 + 2 = 27 -18 -6 +2 = 5;
coeficiente de u':
27 - 2\cdot 6 -2\cdot 1 = 27 -12 -2 = 13;
coeficiente de u'':
9 - 2\cdot 1 = 7;
coeficiente de u''':
1.
Logo a substituição dá
L[y_p]=e^{3x}\bigl(u''' + 7u'' + 13u' + 5u\bigr).
Queremos L[y_p]=e^{3x}. Como e^{3x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{3x} e obter a EDO para u:
u''' + 7u'' + 13u' + 5u = 1.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para u(x). Observação prática e muito útil: se existe uma solução constante u(x)= constante, então as derivadas u',u'',u''' são zero e a equação reduz para uma álgebra simples. Tomemos u constante; substituindo na equação de u obtemos
5u = 1 \quad\Rightarrow\quad u=\frac{1}{5}.
Portanto uma escolha muito simples de u(x) que resolve a equação é u(x)=\frac{1}{5}. (Isto é perfeitamente legítimo: bastamos encontrar qualquer solução u para obter uma solução particular y_p.)
Assim obtemos a solução particular
y_p(x)=\frac{1}{5}e^{3x}.
Uma observação didática: poderíamos procurar uma solução u não-constante, mas sua parte não-constante corresponderia a soluções da homogênea associada à equação para u, e isso só acrescentaria termos já presentes em y_h. Por isso escolher u constante é a maneira mais direta e econômica.

Passo 6

Finalmente, a solução geral da EDO original é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x}+\frac{1}{5}e^{3x},
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes da equação característica
r^3-2r^2-2r+2=0
e C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x}+\frac{1}{5}e^{3x},
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes da equação r^3-2r^2-2r+2=0.

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