Se y_{1}=e^{x(\alpha+i \beta)}=e^{x \alpha}\left(\cos (x \beta)+i \operatorname{sen}(x \beta)\right. e \quad y_{2}=e^{x(\alpha-i \beta)}=e^{x \alpha}(\cos (x \beta)- i \operatorname{sen}(x \beta) ) forem soluções de uma ED de 2^{\circ} ordem, prove que u_{1}=e^{x \alpha} \cos (x \beta) e u_{2}= e^{x \alpha} \operatorname{sen}(x \beta) também é solução dessa ED e gera o conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá duas soluções complexas de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y_{1}=e^{x(\alpha+i\beta)}=e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\big)
y_{2}=e^{x(\alpha-i\beta)}=e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)\big).
O que pedem: provar que as funções reais
u_{1}=e^{\alpha x}\cos(\beta x) \qquad\text{e}\qquad u_{2}=e^{\alpha x}\sin(\beta x)
são soluções da mesma equação diferencial e que formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são soluções linearmente independentes e, portanto, geram a solução geral real da EDO).
Informações relevantes: as y_1,y_2 são soluções da EDO de 2ª ordem; implicitamente estamos diante de uma EDO linear com coeficientes reais (isto é a hipótese usual quando aparecem raízes complexas conjugadas).

Passo 2

Mostro como u_{1} e u_{2} aparecem a partir de y_{1} e y_{2}. Escrevendo y_{1} e y_{2} e usando operações algébricas complexas:
y_{1}+y_{2}=2e^{\alpha x}\cos(\beta x),
logo
u_{1}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.
Também
y_{1}-y_{2}=2i\,e^{\alpha x}\sin(\beta x),
logo
u_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{2i}.
Comentário didático: isso simplesmente extrai, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de y_{1}. Em termos simples, u_{1}=\Re(y_{1}) e u_{2}=\Im(y_{1}).

Passo 3

Explico por que a parte real e a parte imaginária de uma solução complexa são soluções quando a EDO tem coeficientes reais. Seja L o operador diferencial linear de segunda ordem com coeficientes reais (por exemplo L[y]=y''+p(x)y'+q(x)y com p,q reais). Se y é solução, L[y]=0. Como os coeficientes de L são reais, aplicar L à conjugada \overline{y}
L[\overline{y}]=\overline{L[y]}=\overline{0}=0,
ou seja, a conjugada também é solução. Escrevendo y em partes real e imaginária, y=\Re(y)+i\Im(y), pela linearidade de L obtemos
0=L[y]=L[\Re(y)]+iL[\Im(y)].
Como o lado esquerdo é zero e os coeficientes são reais, as partes real e imaginária separadamente devem ser zero:
L[\Re(y)]=0,\qquad L[\Im(y)]=0.
Aplicando isso a y_{1}, concluímos que u_{1}=\Re(y_{1}) e u_{2}=\Im(y_{1}) são soluções reais da EDO.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que u_{1} e u_{2} são linearmente independentes (isso garante que formam um conjunto fundamental para a EDO de segunda ordem). Calculamos o Wronskiano W(u_{1},u_{2}). Primeiro derivadas (fazer passo a passo para poder reproduzir na prova):
Calcule u_{1}':
u_{1}=e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\Rightarrow\quad u_{1}'=e^{\alpha x}\big(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x)\big).
Calcule u_{2}':
u_{2}=e^{\alpha x}\sin(\beta x)\quad\Rightarrow\quad u_{2}'=e^{\alpha x}\big(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\big).
Definição do Wronskiano:
W(u_{1},u_{2})(x)= \begin{vmatrix} u_{1} & u_{2}\\[4pt] u_{1}' & u_{2}' \end{vmatrix} = u_{1}u_{2}'-u_{2}u_{1}'.
Substituindo:
W=e^{\alpha x}\cos(\beta x)\cdot e^{\alpha x}\big(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\big) - e^{\alpha x}\sin(\beta x)\cdot e^{\alpha x}\big(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x)\big).
Fatorando e^{2\alpha x}:
W=e^{2\alpha x}\Big[\cos(\beta x)\big(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\big) -\sin(\beta x)\big(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x)\big)\Big].
Expandindo os produtos e cancelando os termos com \alpha:
W=e^{2\alpha x}\Big[\alpha\cos\beta x\sin\beta x+\beta\cos^{2}\beta x -\alpha\sin\beta x\cos\beta x+\beta\sin^{2}\beta x\Big].
Os termos com \alpha se cancelam, sobrando:
W=e^{2\alpha x}\beta\big(\cos^{2}\beta x+\sin^{2}\beta x\big).
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
W(u_{1},u_{2})(x)=\beta\,e^{2\alpha x}.]

Passo 5

Interpretação do Wronskiano: como e^{2\alpha x} é sempre positivo, W(u_{1},u_{2})(x)=\beta e^{2\alpha x} é diferente de zero para todo x se e só se \beta\neq 0. No enunciado aparece \beta associado à parte imaginária das raízes, o que significa que estamos no caso \beta\neq 0 (caso \beta=0 corresponderia a raízes reais iguais/conjugadas triviais e a dedução muda). Portanto, para \beta\neq 0 temos W\not\equiv 0, logo u_{1} e u_{2} são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão final e interpretação prática para a prova: já mostramos (i) que u_{1} e u_{2} são soluções reais da EDO (são parte real e imaginária de y_{1}), e (ii) que são linearmente independentes pois o Wronskiano é \beta e^{2\alpha x}\neq 0 quando \beta\neq 0. Portanto \{u_{1},u_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções reais de ordem 2, e a solução geral real da EDO é dada por combinação linear:
y(x)=C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x),
com C_{1},C_{2} constantes reais.

Resposta

u_{1}=e^{\alpha x}\cos(\beta x) e u_{2}=e^{\alpha x}\sin(\beta x) são soluções da EDO e formam um conjunto fundamental de soluções.\nA solução geral real é y(x)=C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x).

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