Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações: ;
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos resolver a EDO no intervalo usando o método de variação de parâmetros. Vamos achar a solução homogênea e depois um particular.
Passo 2
A parte homogênea da equação é dada por . A equação característica é , cujas raízes são . Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais e . O Wronskiano é
As fórmulas padrão dão
$$
u_1’ = -\frac{y_2,g(x)}{W} = -\sin x\tan x,$$
$$
u_2’ = \frac{y_1,g(x)}{W} = \cos x\tan x.$$
Passo 4
Integramos para obter u1 e u2. Primeiro,
u1(x) = integral -sin xtan x,dx = integrall(-sec x + cos xr),dx = -lnlvertsec x + tan xrvert + sin x
Depois,
u2(x) = integral cos xtan x,dx = integral sin x,dx = -cos x
(Desprezamos constantes de integração nesta etapa.)
Passo 5
A solução particular é
yp(x) &= u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) &= l(-lnlvertsec x + tan xrvert + sin xr)cos x + (-cos x)sin x &= -cos x,lnlvertsec x + tan xrvert
Resposta
A solução geral da equação é
y(x) = C1cos x + C2sin x - cos xlnlvertsec x + tan xrvert