Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
y^prime prime+y=tan x, -pi2;

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a EDO y'' + y = tan x no intervalo -tfracpi2 < x < tfracpi2 usando o método de variação de parâmetros. Vamos achar a solução homogênea e depois um particular.

Passo 2

A parte homogênea da equação é dada por y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais y1 = cos x e y2 = sin x. O Wronskiano é
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos xcdotcos x - (-sin x)cdotsin x = 1
As fórmulas padrão dão
$$
u_1’ = -\frac{y_2,g(x)}{W} = -\sin x\tan x,$$
$$
u_2’ = \frac{y_1,g(x)}{W} = \cos x\tan x.$$

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2. Primeiro,
u1(x) = integral -sin xtan x,dx = integrall(-sec x + cos xr),dx = -lnlvertsec x + tan xrvert + sin x
Depois,
u2(x) = integral cos xtan x,dx = integral sin x,dx = -cos x
(Desprezamos constantes de integração nesta etapa.)

Passo 5

A solução particular é
yp(x) &= u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) &= l(-lnlvertsec x + tan xrvert + sin xr)cos x + (-cos x)sin x &= -cos x,lnlvertsec x + tan xrvert

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1cos x + C2sin x - cos xlnlvertsec x + tan xrvert

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