Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas e resolva-as.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolve formas diferenciais exatas, em que temos uma função potencial φ(x,y) tal que φ_x=M e φ_y=N.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=sen(y)−y
sen(x) e N(x,y)=cos(x)+x
cos(y)−y. Para verificar exatidão, calculamos ∂M/∂y e ∂N/∂x:
Vemos que
, logo a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar φ(x,y), integramos M em relação a x:
Depois diferenciamos esse φ em relação a y e igualamos a N:
Daí h’(y)=−y, logo h(y)=−y^2/2.
Passo 4
A solução geral vem da condição φ(x,y)=C, ou seja:
A solução implícita é:
Resposta
x\sin(y)+y\cos(x)-\nobreak\frac{y^2}{2}=C