Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas e resolva-as.
(sen(y)-y sen(x)) d x+(cos (x)+x cos (y)-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolve formas diferenciais exatas, em que temos uma função potencial φ(x,y) tal que φ_x=M e φ_y=N.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=sen(y)−y
sen(x) e N(x,y)=cos(x)+x
cos(y)−y. Para verificar exatidão, calculamos ∂M/∂y e ∂N/∂x:
∂M∂y=cos(y)−sin(x),
∂N∂x=−sin(x)+cos(y)
Vemos que ∂M/∂y=∂N/∂x, logo a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar φ(x,y), integramos M em relação a x:
φ(x,y)=integral(sin(y)−ysin(x)),dx = xsin(y)+ycos(x)+h(y)
Depois diferenciamos esse φ em relação a y e igualamos a N:
φy = xcos(y)+cos(x)+h'(y) = cos(x)+xcos(y)−y
Daí h’(y)=−y, logo h(y)=−y^2/2.

Passo 4

A solução geral vem da condição φ(x,y)=C, ou seja:
A solução implícita é: xsin(y)+ycos(x)-y^22 = C

Resposta

x\sin(y)+y\cos(x)-\nobreak\frac{y^2}{2}=C

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