Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
y^prime prime-y=sen^2 x.

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO y''-y=sin^2x usando variação de parâmetros, que é um método para obter uma solução particular de equações lineares de segunda ordem não homogêneas. Vamos precisar do sistema fundamental da solução homogênea e da fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada y''-y=0. Assumimos y=e^rx, o que dá a equação característica r^2-1=0, com raízes r=1 e r=-1. Logo
yh=C1e^x+C2e^-x

Passo 3

Escolhemos então as soluções fundamentais y1=e^x e y2=e^-x. Calculamos o wronskiano
W=e^x & e^-x e^x & -e^-x=-2

Passo 4

Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
u1'=-f(x),y2W, u2'=f(x),y1W,

Passo 5

onde f(x)=sin^2x. Substituindo damos
u1'=sin^2x,e^-x2, u2'=-sin^2x,e^x2

Passo 6

Agora integramos. Usamos sin^2x=tfrac1-cos2x2 e as fórmulas-padrão integral e^axcos(bx)dx. Após cálculo detalhado obtemos
u1= e^-x-5+cos2x-2sin2x20, u2= e^x-5+cos2x+2sin2x20

Passo 7

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=cos2x10-12

Passo 8

Por fim a solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^-x+tfrac110cos(2x)-tfrac12.

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