Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações: .
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO usando variação de parâmetros, que é um método para obter uma solução particular de equações lineares de segunda ordem não homogêneas. Vamos precisar do sistema fundamental da solução homogênea e da fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada . Assumimos , o que dá a equação característica , com raízes e . Logo
Passo 3
Escolhemos então as soluções fundamentais e . Calculamos o wronskiano
Passo 4
Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
u1'=-f(x),y2W, u2'=f(x),y1W,
Passo 5
onde f(x)=sin^2x. Substituindo damos
u1'=sin^2x,e^-x2, u2'=-sin^2x,e^x2
Passo 6
Agora integramos. Usamos sin^2x=tfrac1-cos2x2 e as fórmulas-padrão integral e^axcos(bx)dx. Após cálculo detalhado obtemos