Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=x, x>0;

Passo 1

Na equação dada x^2y'' - x y' + y = x com x>0, reconhecemos uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método de variação dos parâmetros para resolver.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada x^2y'' - x y' + y = 0. Usando a forma assumida y=x^r, obtemos a equação característica
r(r-1) - r + 1 = 0
que simplifica para (r-1)^2=0. Logo,
yh = C1x + C2x,ln x

Passo 3

Para aplicar variação dos parâmetros, colocamos a equação em forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
Dividindo tudo por x^2 vem
y'' - 1x y' + 1x^2y = 1x
Escolhemos y1=x e y2=xln x e calculamos o Wronskiano:
W=y1 & y2 y1' & y2' = x(ln x+1)-1cdot xln x = x

Passo 4

Escrevemos as fórmulas de variação dos parâmetros:
u1' = -g,y2W, nu2' = g,y1W,
onde g(x)=1/x. Substituindo,
u1' = -(1/x),xln xx = -ln xx, nu2' = (1/x),xx = 1x
Integrando,
u1 = -tfrac12(ln x)^2, nu2 = ln x

Passo 5

A solução particular é
yp = nu1y1 + nu2y2 = -tfrac12(ln x)^2cdot x + (ln x)cdot xln x = tfrac12,x(ln x)^2
Portanto, a solução geral da equação original é
y(x) = C1x + C2xln x + tfrac12,x(ln x)^2

Resposta

y(x) = C1x + C2xln x + tfrac12,x(ln x)^2

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