Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy não homogênea
pra x>0. Esse tipo de equação pede que a gente resolva primeiro a homogênea (assumindo y=x^{m}) e depois use variação de parâmetros pra achar uma solução particular.
Passo 2
Pra resolver a homogênea, a gente supõe y=x^{m}. Substituindo em
dá a equação característica
que tem raízes
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora vamos aplicar variação de parâmetros. Primeiro escrevemos a equação em forma padrão dividindo por
:
Aqui
e
.
Passo 4
Montamos o sistema de variação de parâmetros
Como
e
, isso vira
Passo 5
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
portanto
Passo 6
Integramos para achar
:
Passo 7
A solução particular é
Logo a solução geral da equação original é
Resposta
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-1} + \frac{x}{2}\ln x - \frac{x}{4}