Use o método de variação dos parâmetros para calcular a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime+x y^prime-y=x, x>0;

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy não homogênea
x^2y''+xy'-y=x,
pra x>0. Esse tipo de equação pede que a gente resolva primeiro a homogênea (assumindo y=x^{m}) e depois use variação de parâmetros pra achar uma solução particular.

Passo 2

Pra resolver a homogênea, a gente supõe y=x^{m}. Substituindo em x^2y''+xy'-y=0 dá a equação característica
m(m-1)+m-1=m^2-1=0
que tem raízes m=1 e m=-1. Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1x + C2x^-1

Passo 3

Agora vamos aplicar variação de parâmetros. Primeiro escrevemos a equação em forma padrão dividindo por x^2:
y'' + 1xy' - 1x^2y = 1x
Aqui y1=x e y2=x^-1.

Passo 4

Montamos o sistema de variação de parâmetros
u1'y1 + u2'y2 = 0, u1'y1'+u2'y2' = 1x
Como y1'=1 e y2'=-x^-2, isso vira
u1'x + u2'x^-1 = 0, u1' - u2'x^-2 = 1x

Passo 5

Da primeira equação vem u2'=-u1'x^2. Substituindo na segunda:
u1' + u1' = 2u1' = 1x implies u1'=12x,
portanto
u2'=-x^2cdot12x=-x2

Passo 6

Integramos para achar u1,u2:
u1=integral12xdx=12ln x,
u2=integrall(-x2r)dx=-x^24

Passo 7

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=12ln(x)cdot x - x^24cdot x^-1=x2ln x - x4
Logo a solução geral da equação original é
y(x)=C1x + C2x^-1 + x2ln x - x4

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-1} + \frac{x}{2}\ln x - \frac{x}{4}

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