Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O problema é resolver por variação dos parâmetros a equação
O assunto é equações diferenciais lineares de terceira ordem com termo não homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e em seguida usar a variação dos parâmetros para obter uma particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Assumindo obtemos o polinômio característico
cujas raízes são e . Logo, uma base de soluções da homogênea é
Passo 3
Pela variação dos parâmetros procuramos
com as condições
Aqui y1'=0,;y1''=0,;y2'=-sin t,;y2''=-cos t,;y3'=cos t,;y3''=-sin t.
Passo 4
O sistema para u1',u2',u3' fica
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, -,u2'sin t + u3'cos t = 0, -,u2'cos t - u3'sin t = tan t
Da segunda equação vem
u3' = tan t,u2'
Substituindo na terceira:
-,cos t,u2' - sin t,(tan t,u2') = -cos^2 t+sin^2 tcos t,u2' = -1cos tu2' = tan t ;Longrightarrow; u2' = -sin t
Logo
u3' = tan t,(-sin t) = -,sin^2 tcos t
E da primeira equação
u1' = -cos t,u2' - sin t,u3' = -cos t(-sin t)-sin tl(-sin^2 tcos tr) = sin t(cos^2 t+sin^2 t)cos t = tan t
Passo 5
Agora integramos cada um:
u1(t) = integral tan t,dt = -ln!l|cos tr|, u2(t) = integral(-sin t),dt = cos t,
u3(t) = integrall(-sin^2 tcos tr)dt = -integrall(sec t - cos tr)dt = -ln!l|sec t + tan tr| + sin t
Passo 6
A solução particular é
yp = u1cdot1 + u2cos t + u3sin t = -ln!l|cos tr| + cos^2 t +l(-ln!l|sec t + tan tr| + sin tr)sin t
Como cos^2 t+sin^2 t=1, obtemos
yp = 1 - ln!l|cos tr| - sin t,ln!l|sec t + tan tr|
Resposta
A solução geral é
y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + 1 - ln!l(cos tr) - sin t;ln!l(sec t + tan tr),