Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime=tan t, -pi2<t<pi2

Passo 1

O problema é resolver por variação dos parâmetros a equação
y''' + y' = tan t, -tfracpi2<t<tfracpi2
O assunto é equações diferenciais lineares de terceira ordem com termo não homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e em seguida usar a variação dos parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''' + y' = 0
Assumindo y=e^rt obtemos o polinômio característico
r^3 + r = r,(r^2+1)=0,
cujas raízes são r=0 e r=pm i. Logo, uma base de soluções da homogênea é
y1(t)=1, y2(t)=cos t, y3(t)=sin t

Passo 3

Pela variação dos parâmetros procuramos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)+u3(t),y3(t)
com as condições
u1' ,y1 + u2' ,y2 + u3' ,y3 = 0, u1' ,y1' + u2' ,y2' + u3' ,y3' = 0, u1' ,y1'' + u2' ,y2'' + u3' ,y3'' = tan t
Aqui y1'=0,;y1''=0,;y2'=-sin t,;y2''=-cos t,;y3'=cos t,;y3''=-sin t.

Passo 4

O sistema para u1',u2',u3' fica
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, -,u2'sin t + u3'cos t = 0, -,u2'cos t - u3'sin t = tan t
Da segunda equação vem
u3' = tan t,u2'
Substituindo na terceira:
-,cos t,u2' - sin t,(tan t,u2') = -cos^2 t+sin^2 tcos t,u2' = -1cos tu2' = tan t ;Longrightarrow; u2' = -sin t
Logo
u3' = tan t,(-sin t) = -,sin^2 tcos t
E da primeira equação
u1' = -cos t,u2' - sin t,u3' = -cos t(-sin t)-sin tl(-sin^2 tcos tr) = sin t(cos^2 t+sin^2 t)cos t = tan t

Passo 5

Agora integramos cada um:
u1(t) = integral tan t,dt = -ln!l|cos tr|, u2(t) = integral(-sin t),dt = cos t,
u3(t) = integrall(-sin^2 tcos tr)dt = -integrall(sec t - cos tr)dt = -ln!l|sec t + tan tr| + sin t

Passo 6

A solução particular é
yp = u1cdot1 + u2cos t + u3sin t = -ln!l|cos tr| + cos^2 t +l(-ln!l|sec t + tan tr| + sin tr)sin t
Como cos^2 t+sin^2 t=1, obtemos
yp = 1 - ln!l|cos tr| - sin t,ln!l|sec t + tan tr|

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t + 1 - ln!l(cos tr) - sin t;ln!l(sec t + tan tr),
válida para -tfracpi2<t<tfracpi2.

Exercícios relacionados