Questão 5. Sendo alpha(t)=(cos (t), sen(t)), calcule alpha^prime(t) cdot alpha^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano alpha(t)=(cos(t),sen(t)) e pede o produto escalar entre a derivada primeira e a derivada segunda, ou seja, alpha^prime(t)cdotalpha^primeprime(t). Vamos então achar alpha^prime(t), alpha^primeprime(t) e depois calcular o produto escalar.

Passo 2

Para achar alpha^prime(t) derivamos componente a componente:
alpha^prime(t) =l(tfracddtcos(t),tfracddtsen(t)r) =(-sin(t),cos(t))

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter alpha^primeprime(t):
alpha^primeprime(t) =l(tfracddt[-sin(t)],tfracddt[cos(t)]r) =(-cos(t),-sin(t))

Passo 4

O produto escalar alpha^prime(t)cdotalpha^primeprime(t) é
(-sin(t))cdot(-cos(t)) ;+;cos(t)cdot(-sin(t)) = sin(t)cos(t);-;cos(t)sin(t)

Passo 5

Como sin(t)cos(t)-cos(t)sin(t)=0, concluímos que
alpha^prime(t)cdotalpha^primeprime(t)=0

Resposta

0

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