Apresente exemplos de colagem de funções h(x)=llf(x) & , se x <= p, g(x) & , se x>p de modo que:
f e g são deriváveis mas h não é;

Passo 1

O enunciado pede exemplos de uma função colada
h(x)= f(x), & se x<= p, g(x), & se x>p,
de modo que f e g sejam deriváveis em toda a reta real, mas h não seja derivável em x=p. Vamos explorar dois cenários típicos: (i) h contínua porém com derivadas laterais diferentes em p e (ii) h descontínua em p, o que já impede a derivabilidade.

Passo 2

Exemplo 1 (contínuo mas não diferenciável em p). Escolhemos p=0,
f(x)=x^2, g(x)=x^2 + x
  • Tanto f quanto g são polinômios, logo deriváveis em R.
  • Em x=0,
    limxto0^-h(x)=f(0)=0 e
    limxto0^+h(x)=g(0)=0,
    então h é contínua em 0.
  • As derivadas laterais em 0 são
    f'(0)=2cdot0=0 e
    g'(0)=2cdot0+1=1.
    Como 0neq1, h não é diferenciável em 0.

Passo 3

Exemplo 2 (descontínuo em p). Novamente tomamos p=0,
f(x)=e^x, g(x)=e^x + 1
  • Ambas são combinações de exponencial e constantes, portanto deriváveis em R.
  • Mas em x=0
    limxto0^-h(x)=f(0)=1 e
    limxto0^+h(x)=g(0)=2.
    Há salto de valor, logo h nem é contínua em 0 e, por consequência, não é diferenciável em 0.

Resposta

  1. Exemplo contínuo mas não diferenciável em
  2. Exemplo descontínuo e portanto não diferenciável em (p=0]:

Exercícios relacionados