Apresente exemplos de colagem de funções
de modo que:
e
são deriváveis mas
não é;
Passo 1
O enunciado pede exemplos de uma função colada
de modo que
e
sejam deriváveis em toda a reta real, mas
não seja derivável em
. Vamos explorar dois cenários típicos: (i)
contínua porém com derivadas laterais diferentes em
e (ii)
descontínua em
, o que já impede a derivabilidade.
Passo 2
Exemplo 1 (contínuo mas não diferenciável em
). Escolhemos
,
- Tanto
quanto são polinômios, logo deriváveis em . - Em
,
e
,
entãoé contínua em . - As derivadas laterais em
são
e
.
Como, não é diferenciável em .
Passo 3
Exemplo 2 (descontínuo em
). Novamente tomamos
,
- Ambas são combinações de exponencial e constantes, portanto deriváveis em
. - Mas em
e
.
Há salto de valor, logonem é contínua em e, por consequência, não é diferenciável em .
Resposta
-
Exemplo contínuo mas não diferenciável em
-
Exemplo descontínuo e portanto não diferenciável em (p=0]: