Determine a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
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Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução do problema de valor inicial dado para a equação
e depois fazer um gráfico da solução.
Informações dadas:
Não são fornecidas condições iniciais (nenhum valor de
,
, …,
em algum ponto). Portanto não há uma única solução particular do problema de valor inicial: podemos obter a solução geral da equação e, só com condições iniciais, determinar as constantes. Vou então achar a solução geral e, para desenhar um gráfico explícito, mostrarei também o caso particular mais simples (todas as constantes de integração iguais a zero), que é uma escolha válida para visualizar a forma da solução.
Passo 2
Vamos resolver passo a passo. Primeiro a parte teórica necessária (de forma simples e direta):
- Como a equação é linear de coeficientes constantes, escrevemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
- Fatorando:
Logo as raízes são dadas por
e
. Daí:
-
é raiz de multiplicidade . - As soluções de
são as três raízes complexas de . Uma é (real) e as outras duas são complexas conjugadas
- Regras de construção da solução geral da homogênea:
- Para
com multiplicidade aparecem os termos polinomiais . - Para raiz real
aparece . - Para par de raízes complexas
(aqui , ) aparecem as soluções reais
combinadas linearmente. - Para
Portanto a solução geral da homogênea tem a forma
Passo 3
Agora a parte particular. Usamos o método dos coeficientes indeterminados.
-
O termo do lado direito é
, um polinômio de grau 1. O método diz: suponha uma solução particular polinomial do mesmo grau, multiplicada por onde é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica; aqui o polinômio corresponde à raiz , cuja multiplicidade é . Assim multiplicamos por . -
Um candidato apropriado é então
com
a determinar.
Calculemos derivadas necessárias (vou mostrar só as que usamos):
Substituindo na equação
:
Igualando coeficientes de potências de
:
Portanto a solução particular encontrada é
Observação didática rápida: multiplicamos por
no chute inicial por causa da “ressonância” com a raiz
de multiplicidade
. Se não multiplicássemos, termos polinomiais do mesmo grau fariam as equações para os coeficientes impossíveis (ou inconsistentes) porque a forma tentativa estaria no espaço da solução homogênea.
Passo 4
Agora juntamos homogênea e particular para obter a solução geral da equação não-homogênea:
onde
são constantes arbitrárias que seriam determinadas se nos fossem fornecidas seis condições iniciais (por exemplo valores de
em um ponto).]
Passo 5
Sobre o gráfico pedido: como não há condições iniciais, há família de soluções (6 constantes). Para desenhar algo concreto escolho a escolha mais simples: todas as constantes iguais a zero,
. Essa escolha dá a solução particular pura:
Essa função é fácil de visualizar: é uma função par (mesma para
e
), mínima em
com
, cresce quarticamente para |t| grandes. Alguns pontos para esboçar:
Se quiser plotar num computador, um comando rápido em Python/Matplotlib seria (copie e cole num ambiente Python):
Observação final: se você tiver condições iniciais específicas, me passe os seis valores (por exemplo
) e eu resolvo para as constantes e desenho o gráfico correspondente à solução única.