Determine a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
7. y^{(6)}+y^{\prime \prime \prime}=t

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução do problema de valor inicial dado para a equação
y^{(6)} + y^{(3)} = t,
e depois fazer um gráfico da solução.
Informações dadas:
\text{equação diferencial: } y^{(6)} + y^{(3)} = t.çã
Não são fornecidas condições iniciais (nenhum valor de y, y', …, y^{(5)} em algum ponto). Portanto não há uma única solução particular do problema de valor inicial: podemos obter a solução geral da equação e, só com condições iniciais, determinar as constantes. Vou então achar a solução geral e, para desenhar um gráfico explícito, mostrarei também o caso particular mais simples (todas as constantes de integração iguais a zero), que é uma escolha válida para visualizar a forma da solução.

Passo 2

Vamos resolver passo a passo. Primeiro a parte teórica necessária (de forma simples e direta):
  • Como a equação é linear de coeficientes constantes, escrevemos a equação homogênea associada:
y^{(6)} + y^{(3)} = 0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^6 + r^3 = 0.
  • Fatorando:
r^3(r^3+1)=0.
Logo as raízes são dadas por r^3=0 e r^3=-1. Daí:
  • r=0 é raiz de multiplicidade 3.
  • As soluções de r^3=-1 são as três raízes complexas de -1. Uma é r=-1 (real) e as outras duas são complexas conjugadas
r = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Regras de construção da solução geral da homogênea:
    • Para r=0 com multiplicidade 3 aparecem os termos polinomiais C_1 + C_2 t + C_3 t^2.
    • Para raiz real r=-1 aparece C_4 e^{-t}.
    • Para par de raízes complexas \alpha \pm i\beta (aqui \alpha=\tfrac12, \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}) aparecem as soluções reais
    e^{\alpha t}\cos(\beta t),\qquad e^{\alpha t}\sin(\beta t),combinadas linearmente.
Portanto a solução geral da homogênea tem a forma
y_h(t)=C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t} + e^{t/2}\Big(C_5\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_6\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\Big).

Passo 3

Agora a parte particular. Usamos o método dos coeficientes indeterminados.
  • O termo do lado direito é t, um polinômio de grau 1. O método diz: suponha uma solução particular polinomial do mesmo grau, multiplicada por t^s onde s é a multiplicidade da raiz r correspondente na equação característica; aqui o polinômio corresponde à raiz r=0, cuja multiplicidade é 3. Assim multiplicamos por t^3.
  • Um candidato apropriado é então
y_p(t)=t^3(At+B)=A t^4 + B t^3,
com A,B a determinar.
Calculemos derivadas necessárias (vou mostrar só as que usamos):
y_p(t)=A t^4 + B t^3,
y_p^{\prime}(t)=4A t^3 + 3B t^2,
y_p^{\prime\prime}(t)=12A t^2 + 6B t,
y_p^{\prime\prime\prime}(t)=24A t + 6B,
y_p^{(4)}(t)=24A,\qquad y_p^{(5)}(t)=0,\qquad y_p^{(6)}(t)=0.
Substituindo na equação y^{(6)}+y^{(3)}=t:
0 + (24A t + 6B) = t.
Igualando coeficientes de potências de t:
24A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{24},
6B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto a solução particular encontrada é
y_p(t)=\frac{1}{24}t^4.
Observação didática rápida: multiplicamos por t^3 no chute inicial por causa da “ressonância” com a raiz r=0 de multiplicidade 3. Se não multiplicássemos, termos polinomiais do mesmo grau fariam as equações para os coeficientes impossíveis (ou inconsistentes) porque a forma tentativa estaria no espaço da solução homogênea.

Passo 4

Agora juntamos homogênea e particular para obter a solução geral da equação não-homogênea:
\begin{aligned} y(t) &= y_h(t) + y_p(t)\\[4pt] &= C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t} + e^{t/2}\Big(C_5\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_6\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\Big) + \frac{t^4}{24}, \end{aligned}
onde C_1,\dots,C_6 são constantes arbitrárias que seriam determinadas se nos fossem fornecidas seis condições iniciais (por exemplo valores de y,y',\dots,y^{(5)} em um ponto).]

Passo 5

Sobre o gráfico pedido: como não há condições iniciais, há família de soluções (6 constantes). Para desenhar algo concreto escolho a escolha mais simples: todas as constantes iguais a zero, C_1=\cdots=C_6=0. Essa escolha dá a solução particular pura:
y(t)=\frac{t^4}{24}.
Essa função é fácil de visualizar: é uma função par (mesma para t e -t), mínima em t=0 com y(0)=0, cresce quarticamente para |t| grandes. Alguns pontos para esboçar:
\begin{array}{c|c} t & y(t)=\dfrac{t^4}{24}\\hline -2 & \dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\approx 0,6667\\\\ -1{,}5 & \dfrac{5{,}0625}{24}\approx 0,2109\\\\ -1 & \dfrac{1}{24}\approx 0,04167\\\\ -0{,}5 & \dfrac{0{,}0625}{24}\approx 0,00260\\\\ 0 & 0\\\\ 0{,}5 & 0{,}00260\\\\ 1 & 0{,}04167\\\\ 1{,}5 & 0{,}2109\\\\ 2 & 0{,}6667 \end{array}
Se quiser plotar num computador, um comando rápido em Python/Matplotlib seria (copie e cole num ambiente Python):
\texttt{import numpy as np; import matplotlib.pyplot as plt}\\\ \texttt{t = np.linspace(-2,2,400)}\\\ \texttt{y = t**4/24}\\\ \texttt{plt.plot(t,y); plt.axhline(0,color='k',linewidth=0.5); plt.axvline(0,color='k',linewidth=0.5); plt.show()}
Observação final: se você tiver condições iniciais específicas, me passe os seis valores (por exemplo y(0),y'(0),\dots,y^{(5)}(0)) e eu resolvo para as constantes e desenho o gráfico correspondente à solução única.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t} + e^{t/2}\Big(C_5\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_6\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\Big) + \frac{t^4}{24}

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