Determine o comprimento da curva dada
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o comprimento de uma curva parametrizada
de
até
é dado pela integral:
Onde
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada
. Diferenciando cada componente da função vetorial:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo de
:
Passo 5
Substituímos esse resultado na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então:
Quando
,
, e quando
,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Então,
Passo 9
Calculando os limites: