Determine o comprimento da curva dada
r(t) = i + t^2 j + t^3 k ; 0 <= t <= 1 Resposta: 1/27 * (13 * raiz(13) - 4 * raiz(4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o comprimento de uma curva parametrizada de até é dado pela integral:
Onde é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada . Diferenciando cada componente da função vetorial:

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de :

Passo 5

Substituímos esse resultado na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então:
Quando , , e quando , .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando :
Então,

Passo 9

Calculando os limites:

Resposta

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