Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes
Passo 1
O problema pede a solução geral da EDO não homogênea usando variação de parâmetros. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a solução da homogênea junto com as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada . A equação característica é
que tem raízes e . Logo duas soluções independentes são e , e a solução geral homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, assumimos uma solução particular da forma
onde e são funções a determinar. Impomos o sistema auxiliar
para simplificar os cálculos.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano de e :
Aqui o termo não homogêneo g(t) é e^2t.
Passo 5
Usamos as fórmulas de variação de parâmetros:
u1'=-y2,g(t)W=-e^-te^2t-4e^2t=14e^-t,
u2'=y1,g(t)W=e^3te^2t-4e^2t=-14e^3t
Passo 6
Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral14e^-tdt=-14e^-t,
u2(t)=integrall(-14e^3tr)dt=-112e^3t
Desprezamos constantes de integração aqui, pois elas se absorvem em yh.