Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes y^prime prime(t)-2 y^prime(t)-3 y(t)=e^2 t

Passo 1

O problema pede a solução geral da EDO não homogênea y''-2y'-3y=e^2t usando variação de parâmetros. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a solução da homogênea junto com as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada y''-2y'-3y=0. A equação característica é
r^2-2r-3=0
que tem raízes r=3 e r=-1. Logo duas soluções independentes são y1=e^3t e y2=e^-t, e a solução geral homogênea é
yh=C1e^3t+C2e^-t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, assumimos uma solução particular da forma
yp=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t),
onde u1 e u2 são funções a determinar. Impomos o sistema auxiliar
u1'y1+u2'y2=0,u1'y1'+u2'y2'=e^2t,
para simplificar os cálculos.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W=y1 & y2y1'&y2'=e^3t(-e^-t)-3e^3te^-t=-4e^2t
Aqui o termo não homogêneo g(t) é e^2t.

Passo 5

Usamos as fórmulas de variação de parâmetros:
u1'=-y2,g(t)W=-e^-te^2t-4e^2t=14e^-t,
u2'=y1,g(t)W=e^3te^2t-4e^2t=-14e^3t

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral14e^-tdt=-14e^-t,
u2(t)=integrall(-14e^3tr)dt=-112e^3t
Desprezamos constantes de integração aqui, pois elas se absorvem em yh.

Passo 7

A solução particular fica
yp=u1y1+u2y2=-14e^-te^3t-112e^3te^-t=-l(14+112r)e^2t=-13e^2t

Passo 8

Finalmente, a solução geral da EDO não homogênea é a soma de yh com yp:
y(t)=C1e^3t+C2e^-t-13e^2t

Resposta

y(t)=C_1e{3t}+C_2e{-t}-\tfrac{1}{3}e^{2t}

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