Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o método dos coeficientes indeterminados.
4 y^prime prime-4 y^prime+y=16 e^t / 2

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial
4y''-4y'+y=16e^t/2
usando o método de variação de parâmetros, e depois verificar esse resultado pelo método dos coeficientes indeterminados. Para isso precisamos primeiro resolver a parte homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é
4y''-4y'+y=0
Dividindo por 4 obtemos
y''-y'+tfrac14y=0
A equação característica é
lambda^2-lambda+tfrac14=0
com discriminante zero, logo lambda=tfrac12 é raiz dupla. As soluções fundamentais são
y1(t)=e^t/2, y2(t)=t,e^t/2

Passo 3

Colocando a não-homogênea em forma padrão
y''-y'+tfrac14y=4e^t/2,
aplicamos variação de parâmetros. Chamamos
r(t)=4e^t/2, W=y1y2'-y1'y2=e^t
As fórmulas são
u1'=-y2,rW, u2'=y1,rW
Substituindo:
u1'=-t e^t/2cdot4e^t/2e^t=-4t, u2'=e^t/2cdot4e^t/2e^t=4
Integrando:
u1=-2t^2, u2=4t

Passo 4

A solução particular fica
yp=u1y1+u2y2 =(-2t^2)e^t/2+(4t)(t e^t/2) =2t^2e^t/2

Passo 5

Verificação por coeficientes indeterminados: como e^t/2 e te^t/2 são da homogênea, tentamos
yp=A,t^2e^t/2
Calcula-se yp' e yp'' e substitui em 4y''-4y'+y, chegando a
8A e^t/2=16e^t/2 Longrightarrow A=2
Portanto confirma-se
yp=2t^2e^t/2

Resposta

A solução particular da equação é
yp(t)=2t^2e^t/2

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