Use o Método da Variação dos Parâmetros ou o Método dos Coeficientes a Determinar para resolver duas das EDO’s Lineares não-homogêneas de 2^{\underline{a}} ordem dadas abaixo:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}-7 y=6 t e^{7 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem não homogênea
y''-6y'-7y=6t\,e^{7t}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea associada
y''-6y'-7y=0.
O polinômio característico é
r^2-6r-7=0\quad\Longrightarrow\quad (r-7)(r+1)=0,
de onde r=7 ou r=-1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h=C_1e^{7t}+C_2e^{-t}.

Passo 3

O termo não homogêneo é 6t\,e^{7t}. Em geral tentaríamos (At+B)e^{7t}, mas como e^{7t} já está em y_h (raiz simples r=7), multiplicamos a ansatz por t. Assim propomos
y_p=(A\,t^2+B\,t)\,e^{7t}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos em y''-6y'-7y:
y_p=(A\,t^2+B\,t)e^{7t},
y_p'=\bigl(2A\,t+B\bigr)e^{7t} +7(A\,t^2+B\,t)e^{7t} =\bigl(7A\,t^2+(2A+7B)t+B\bigr)e^{7t},
y_p''=\bigl(14A\,t+(2A+7B)\bigr)e^{7t} +7\bigl(7A\,t^2+(2A+7B)t+B\bigr)e^{7t} =\bigl(49A\,t^2+(28A+49B)t+(2A+14B)\bigr)e^{7t}.
Substituindo em y''-6y'-7y e fatorando e^{7t}:
y_p''-6y_p'-7y_p =\bigl[49A\,t^2+(28A+49B)t+(2A+14B)\bigr] -6\bigl[7A\,t^2+(2A+7B)t+B\bigr] -7\bigl[A\,t^2+B\,t\bigr]
=\bigl[16A\,t+(2A+8B)\bigr]e^{7t}.

Passo 5

Igualamos ao lado direito [6t,e^{7t}):
\bigl[16A\,t+(2A+8B)\bigr]e^{7t}=6t\,e^{7t} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 16A=6,\\\\ 2A+8B=0. \end{cases}
Daí A=\tfrac{3}{8}\] e \(B=-\tfrac{3}{32}.

Passo 6

A solução particular fica
y_p=\Bigl(\tfrac{3}{8}t^2-\tfrac{3}{32}t\Bigr)e^{7t},
e a solução geral da EDO é
\boxed{ y(t)=C_1e^{7t}+C_2e^{-t} +\Bigl(\tfrac{3}{8}t^2-\tfrac{3}{32}t\Bigr)e^{7t}. }

Resposta

y(t)=C_1e^{7t}+C_2e^{-t} +\Bigl(\tfrac{3}{8}t^2-\tfrac{3}{32}t\Bigr)e^{7t}.

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