Determine a taxa de variação máxima de f no ponto indicado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z) = x / (x + z),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função em um ponto específico e a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a . Observando a função, percebemos que não está presente, então:

Passo 5

Por fim, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é:

Passo 7

A taxa de variação máxima da função no ponto indicado é igual à magnitude do gradiente. Vamos calcular essa magnitude:

Passo 8

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para obter uma direção unitária, normalizamos o gradiente:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto indicado é e ocorre na direção do vetor .

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