Determine a taxa de variação máxima de
no ponto indicado e a direção em que isso ocorre.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função
em um ponto específico e a direção em que essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
. Observando a função, percebemos que
não está presente, então:
Passo 5
Por fim, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
é:
Passo 7
A taxa de variação máxima da função no ponto indicado é igual à magnitude do gradiente. Vamos calcular essa magnitude:
Passo 8
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para obter uma direção unitária, normalizamos o gradiente:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto indicado é
e ocorre na direção do vetor
.