Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
d xd t=2 x-y
d yd t=3 x-2 y+4 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
dxdt=2x-y, dydt=3x-2y+4t
pelo método de variação dos parâmetros. Isso envolve três partes principais: ( 1) achar a solução geral do sistema homogêneo X' = A X, ( 2) construir a matriz fundamental Phi(t) e seu inverso, e ( 3) aplicar Xp = Phi(t)integral Phi(t)^-1g(t),dt, onde g(t)=(0,4t)^T.

Passo 2

Escrevemos o sistema homogêneo X' = AX com
A = 2 & -1[6pt]3 & -2
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=l(2-lambdar)l(-2-lambdar)-(-1)cdot3 =lambda^2-1,
logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1.
Para lambda1=1, um autovetor é (1,1)^T.
Para lambda2=-1, um autovetor é (1,3)^T.]

Passo 3

Daí as duas soluções básicas do homogêneo são
X1(t)=e^t[3pt]e^t, X2(t)=e^-t[3pt]3e^-t
A matriz fundamental é
Phi(t)=l[X1(t);;X2(t)r] =e^t & e^-t[3pt]e^t & 3e^-t,
cujo determinante vale 2. Portanto
Phi(t)^-1=12 3e^-t & -e^-t[3pt]-e^t & e^t ]

Passo 4

O termo não homogêneo é g(t)=(0,4t)^T. Calculamos
u'(t)=Phi(t)^-1g(t) =12 3e^-t & -e^-t[3pt]-e^t & e^t 04t =-2t e^-t[3pt]2t e^t ]

Passo 5

Integramos cada componente para obter u1,u2:
u1(t)=integral -2t e^-t,dt =2e^-t(t+1), u2(t)=integral 2t e^t,dt =2e^t(t-1)

Passo 6

A solução particular é
]

Passo 7

Finalmente, somamos a parte homogênea geral e a particular. A solução geral do sistema é
x(t)=C1e^t+C2e^-t+4t, y(t)=C1e^t+3C2e^-t+8t-4,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t)=C1e^t+C2e^-t+4t, y(t)=C1e^t+3C2e^-t+8t-4

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