Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
d xd t=5 x+9 y+2
d yd t=-x+11 y+6

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
dxdt=5x+9y+2, dydt=-,x+11y+6
O que precisamos: (i) achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores; (ii) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados; (iii) somar para ter a solução geral.

Passo 2

Estudamos primeiro o sistema homogêneo
O polinômio característico é
cuja raiz dupla é . Para o autovetor satisfaz
Como a multiplicidade algébrica é mas geometricamente só aparece esse vetor, construímos um vetor generalizado resolvendo
Tomando e resolvendo dá, por escolha simples,
Logo a solução geral do homogêneo é

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular constante . Como derivadas são nulas, inserimos em
Resolvendo o sistema linear em obtemos
Ou seja
]

Passo 4

A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da homogênea com a particular:
]

Resposta

x(t) =3C1e^8t +C2e^8tl(3t-1r) +tfrac12, y(t) =C1e^8t +C2e^8t,t -tfrac12,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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