Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear não homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
O que precisamos: (i) achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores; (ii) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados; (iii) somar para ter a solução geral.
Passo 2
Estudamos primeiro o sistema homogêneo
O polinômio característico é
cuja raiz dupla é
. Para
o autovetor satisfaz
Como a multiplicidade algébrica é
mas geometricamente só aparece esse vetor, construímos um vetor generalizado
resolvendo
Tomando
e resolvendo dá, por escolha simples,
Logo a solução geral do homogêneo é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular constante
. Como derivadas são nulas, inserimos em
Resolvendo o sistema linear em
obtemos
Ou seja
]
Passo 4
A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da homogênea com a particular:
]
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.