Sejam
duas curvas diferenciáveis. Mostre que
Passo 1
Temos duas curvas diferenciáveis
e queremos mostrar a regra do produto para o produto interno, ou seja, que
. Para isso vamos usar a definição de produto interno em coordenadas e as regras de derivação de soma e produto.
Passo 2
Escrevemos as curvas em coordenadas: seja
$$
u(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t)),\quad v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t)).
\langle u(t),v(t)\rangle=u_1(t)v_1(t)+u_2(t)v_2(t)+u_3(t)v_3(t).
$$
Passo 3
Aplicamos a regra da derivada de soma: a derivada da soma é a soma das derivadas, então
Passo 4
Em cada termo
usamos a regra do produto para funções reais:
Passo 5
Somando sobre
obtemos
Passo 6
Reconhecemos nos somatórios os produtos internos:
Logo chega-se à fórmula desejada.