Sejam u, v: I R^3 duas curvas diferenciáveis. Mostre que
dd tlang<= u(t), v(t)rang<==lang<=dd t u(t), v(t)rang<=+lang<= u(t), dd t v(t)rang<=

Passo 1

Temos duas curvas diferenciáveis u, v: I to R^3 e queremos mostrar a regra do produto para o produto interno, ou seja, que ddtlang<= u(t),v(t)rang<==lang<= u'(t),v(t)rang<=+lang<= u(t),v'(t)rang<=. Para isso vamos usar a definição de produto interno em coordenadas e as regras de derivação de soma e produto.

Passo 2

Escrevemos as curvas em coordenadas: seja
$$
u(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t)),\quad v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t)). u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t)), v(t)=(v1(t),v2(t),v3(t))
\langle u(t),v(t)\rangle=u_1(t)v_1(t)+u_2(t)v_2(t)+u_3(t)v_3(t).
$$

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada de soma: a derivada da soma é a soma das derivadas, então
ddtlang<= u(t),v(t)rang<==sumi=1^3ddtl(ui(t)vi(t)r)

Passo 4

Em cada termo ui(t)vi(t) usamos a regra do produto para funções reais:
ddtl(ui vir)=ui'(t)vi(t)+ui(t)vi'(t)

Passo 5

Somando sobre i=1,2,3 obtemos
ddtlang<= u(t),v(t)rang<==sumi=1^3ui'(t)vi(t)+sumi=1^3ui(t)vi'(t)

Passo 6

Reconhecemos nos somatórios os produtos internos:
sumi=1^3ui'(t)vi(t)=lang<= u'(t),v(t)rang<=, sumi=1^3ui(t)vi'(t)=lang<= u(t),v'(t)rang<=
Logo chega-se à fórmula desejada.

Resposta

ddtlang<= u(t),v(t)rang<==lang<= u'(t),v(t)rang<=+lang<= u(t),v'(t)rang<=.

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