Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de
y^prime prime(x)+y(x)=0 por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais
y(0)=1 e
y^prime(0)=0 .
Passo 1: Supor uma solução em série de potências
Assumimos uma solução para
y(x) na forma de uma série de potências:
Encontrando as derivadas da série de potências, diferenciando termo a termo, obtemos:
y^prime(x)=sumn=1^infty an n x^n-1, y^prime prime(x)=sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2
Passo 2: Substituir na Equação Diferencial
Substituímos
y(x) e
y^prime prime(x) na equação
y^prime prime+y=0 :
sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2+sumn=0^infty an x^n=0
Passo 3: Ajustar as séries
Reindexamos a primeira série para que ambas somas tenham potências de
x^n . Na primeira série, substituímos
k=n-2 , de modo que
n=k+2 , então:
sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2=sumk=0^infty ak+2(k+2)(k+1) x^k
Assim, a equação diferencial se torna:
sumk=0^infty ak+2(k+2)(k+1) x^k+sumk=0^infty ak x^k=0
Passo 4: Igualar os coeficientes a zero:
Para que a soma seja zero para todo
x , os coeficientes de cada
x^k devem ser zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 5: Determinar os coeficientes usando as condições iniciais:
Usando as condições iniciais
y(0)=1 e
y^prime(0)=0 :
Quando
n=0: y(0)=a0=1 . 2. Quando
n=1: y^prime(0)=a1=0 .
Com
a0=1 e
a1=0 , podemos calcular os próximos termos usando a relação de recorrência:
a2=-a02=-12 a3=0 a4=-a24 cdot 3=124 a5=0
Passo 6: Solução em série de potências:
Portanto, a solução em série de potências é:
y(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+a4 x^4+cdots=1-x^22+x^424+ldots
A série obtida é a expansão em série de Taylor para
cos (x) . Assim, a solução é: